I -h p arc tangp

le premier membre de cette égalité sera une fonction holomorphe de p (pour 0 = 0) qui s'annule avec p, mais dont la dérivée ne s'annule pas avec p. On en déduira, d'après un théorème connu,

SUR LES COURBIÎS DKFIMliS PAR LES lîOl'ATIONS DIFFÉRENTIELLES. I o5

<!/ élant une foiKtlmi lioloniorjilie de ^. On auin alors

L V' "i" p 3''c tangp — p'-?/J

Celte fonction, comme dans le premier cas, est liolomorplic en p et cp, poinMi que ces variables soient sulTisamnicnt jietites.

Dans le deuxième cas, oii ne peut appliquer ce procédé, parce que la fonction

n est pas liolomorplic. Posons alors

F = Il„-i- 11, o -: ^ +. . .H ■■ —

en développant F non plus suivant les puissances de p, mais suivant celles de a. On déterminera ensuite les fonctions H successivement à l'aide tics équations suivantes :

Ho = p^

dp

rfH„|

Les fonctions II ainsi délinies sont des polynômes entiers en p, et il est aisé de voirque tous les coefficients sont positifs, que le degré de H„ est 2 (n + i), et que ce polynôme H„ ne contient pas de terme de degré plus petit cpie « + 2. Soient S„ la somme des coefficients de H„, et S^, celle des coefficients de sa dérivée —~; H„ étant de degré 2 (/( + 1); on aura

D'ailleurs, les formules (i Cei-) nous donnent

S„+i = -îS,, ; d'où

S„+i < 4S„(« +1) et