II. 1'. - I

I06 SUR I.ES COURUES DÉKINIES PAR I.KS KOUATIONS DIFFÉRKNTIEIXES.

Supposons p positif ol plus pclil (|m' i, et cn\ is;ii;f'ons le Icrmc i;^'!!^!:!! (!(■ la série (]tii dôlinil F: on wwrn

H., ra'i

Si donc 33 est positif et plus priii rpic -i la séiic est convorgcnlr ol, rouimc tous ses termes sont positifs, absolument eonvert;ente.

La eonrlusion, c'est que F est une fonction lioloniorpbe de o et de '.s, pourvu

(jUC

ipi<'> Ip-î-k!-

11 était aisé de iirévoir ce résultat. Posons, en cd'eL,

Je dis que Z, est une fonction liolomorplio de p et de es dans le voisinage du point p = u := o (' ). Pour cela, il faut démontrer deux choses :

1° Que "l tend vers zéro, toutes les fois que p et cp tendent sinudtanénient vers zéro.

En ellet, si p et cp tendent vers zéro, les deux meuibres de l'équation (,")) croîtront indéfiniment. Or. |>(Mir que

croisse indéfiniment, il faut que Z tende vers zéro ou vers — i. Mais, si la valeur initiale de Z est suffisauiment voisine de zéro, il faudra que Z, tende vers zéro et non pas vers — i . 11 suffira de le \érifier, ce <jui est facile, lorsque, es et l'argument de o restant constants, le module de o tend vers zéro. Cela sera suffisant, parce que nous allons voir un peu plus loin (pu' Z est une fonction uniforme de c et de a.

2° Il faut démontrer ensuil<' que Z revient à la même valeur quand c déci-it i\iin> son plan, et s dans le sieu, un contour suffisamment petit enveloppant le point zéro. Or, dans ces conditions, le premier et, par consé([U('nt, le second membre de léqualion f:")) augmenteront d'un mullij]|e de :> /", ce (pii feia décrire au |)oint Z un contour fermé enveloppant le point zéro.

C) Cet énoncé, de forme trop générale, devrait être remplacé par le suivant : la functioii multiforme Ç((>, ?) définie par (5) possède une branche, liolomurplie pour p = o, o = o, et se réduisant à o pour a = o. C'est à celte branctie que s'appliquent les considérations du i" et du a°.

SUR LES COUItBES DEFINIES PAR LES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. I07

Donc V, el, par coiiséquenl,

sont nne fonction liolomorplic de p et de s si ces variables sont assez ])etites. Supposons maintenant

- Q = P(p) = ?•=+ fif'+ Y?'' -H. . .,

P{p) étant une série ordonnée suivant les puissances de p et convergente, pour\ u que p soit suflisaniment petit.

L'intégrale générale des équations dinerentiellcs sera

r dû

"' ■+- I 7TT— = const.

On trou\cra. d adlciirs,

Q (p) étant une l'onction de p lioloinorplie pour p = o. Posons maintenant

Nous considérerons, parmi les fonctions 'C, (pii satisfont à cette équation, celle qui se réduit à o pour w = o. Je dis que ce sera une fonction lioloniorplie de p et de to, si ces variables sont suffisamment j)etites.

Pour cela, il faut faire voir que, si p et w sont assez petits, ^ est une fonction uniforme de p et de lo (jui tend vers zéro quand ces variables tendent simultanément vers zéro. Le raisounemeni serait aljsoluiiuiit le même que dans le cas

précédent. 11 en résulte que

est une fonction holomorphe de o et de o).

Il est, d'ailleurs, aisé de trouver les coefficients du développement de F suivant les puissances de p et de w. Ecrivons, en effet,

F = Ho + Hi tij H ■ + . . . H i • • ,