II„= Z
Nou> suppost rons, ce qui est utile pour noire objet, que tous les cip sont positifs, et nous pourrons linuser dei:x nombres ^. et a, tels que
lo8 Sl'R LKS COURBES DÉl'INIES PAR LES ÉQtATIONS DIFFÉRENTIELLES.
Les II nous seront donnés par les (■■(|iialions
Ho = ?%
n„ + l= P(pj-y— ■
Nous ailopleroiis la noialion suivanU; : l'inégaliLc
avee nn double signe d'inégalité, signifiera (lorsque les coefficients des fonclion^ / cl -j développées suivant les puissances de p sont positifs, ce que nous supposerons) que chaque coefficient de / est plus petit que le coefficient correspondant de o. Nous pourrons écrire alors
' i — rt p
Je dis qu'on pourra toujours trouver un nombre M„, tel que
(i-ap)
îii+i
Supposons, en cHcl. que cela soit \ral poiii' II„, je dis (pie cela sera vrai ])c)iir II„+|. Il viendra, dans celte li v))otliése,
clHn , M„a«! (-2 /( -!- i) V. aM„(n-i-i)!
d où
,, p rfH« . ■?.aiiM„{n-hl)\ "■*•'- dp - (i-ap)"+3 '
d'où
Il vient alors
P -y 1I„0)" ,,-^ Mai-?.aiJ.O))" Mn ~^ ni ^ (i — ap)^"^' " \ — ap
(i-«pj2 . ,.,^.
(i — apy- On conclut de cette inégalité que la série F converge, jhmmnu que, par exemple,
la ' 8<(;i
Mais il est aisé de vnir que le dé\ elii|]pini(nt de II,, nDiiinciuc \t:iv \\n terme
SIR LES COIHBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. lOQ
en p-, celui (1(^ H, par nn Icrnie en p', celui de H„ par un terme en p"+-.
Donc la fonction F est une fonction holomorphe, non seulement de o et de oj, mais de p et pw. La série F convergera donc, ponivu que
|p|< — 5 I oto I < — ^ — -— •
Donc celte série sera convergente pour toutes les valeurs de w comprises entre zéro et 2-, pourvu que
lp|<— ' ip1<^4— •
■i.a ' iia- \x-
\ oici comment ce qui précède se rattache aux principes exposés par 'SIM. Briot et Bouquet dans le WX\ P Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique.
Considérons to ciimuii' une (inisiaiilc: iKiUs aurons, enire \ v\ p, l'équalion
dillérentielle
dX, do
P(?)~H(p) ou
f/" >-2 I t- y i rï
rfp p- 1 -i- ^p -h
'L re[)résentant un eiiscmliie y\v Lerincs de di'gré au moins égal à 2 en ^ et en o. Posons
Il \ leiidra
la fonclion 'j coulenant c- en facteur.
C'est là nw t^pe d'équations qui. d'après nu llicoicmc de .MM. Briol et BoLiipiel. adnicl une iiilinilè d inlègralo h(il(iiu()i|ilic>, .-l'annujant a\cc o.
Donc X. est fonclion lioloniorphe de ;. c;. o. i'. ii.
Passons maintenant au cas général.
Il importe d'alirn-d de ra|ipi'ler l'I de préci-.! r Ir mus de la noialioa <:;/ ''éjà emplo\ée phis haut. C^iiand j écrirai dans ce qui \a suin re :
je regarderai les deux fonctions /et C3 comme développées sui\ant les puissances croissantes de o. Les cocfficienls des deux développements seront des fonctions de (o cpie je regarderai nuMnentanèmeiit comme une constante et que je :>up[ioserai réelle et comprise entre zéro et a—.
MO SUR LES COURBES DÉFÎMES PAIl LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
L'inégalité signiliera alors (juo, pour loiitesles valeurs réelles de w eom|)rises entre zéro et 2-, tous les coefticients du développement de u sont positifs et |)liis grands en \aleiir al)Miliie (pie les eoellicients eorrespundaais du développement de /.
Soient
Les roeffieienis R,- cl 0,- des deux polynômes R et O seront des fonellons Irigono)nélri(pics de m. Supposons que toutes ces fonctions I rii^oiioiml rupics restent constamment inférieures en valeur abolue à une certaine (iiianlilé positive L. 11 viendra
(6) — - .<■- (p-H-p^-t-...-l-p/OL , p'L
Q '^ T — (p -H pî-h. . .H- pî) L '- I — p(L -h I ) ■
La (onction ' ■ cpii ne dépend cjue de p est développablc suivant les
puissances de g, pourvu que p soit suflisamment pelil.
Il en résulte qu'il existe une série F, ordoianée sui\aul les puissances croissantes (le p el de w, convergente pour toutes les valeurs réelles de w comprises entre zéro et 2-, jioiirvu que p soit suflisamment petit, et satisfaisant à l'égalité
rfF^ £/F\ pM.
d(i> dp i — p ( i> -t- I )
De plus, y , se rédiiil à p- pour to = o. Posons, comme jiliis liaiil,
F| = u.ip--h «sp'-h. . .-(- (fyp'î'-l-. . ..
Les fonctions ;;y seront définies par les équations (1 bis) et les fondions «^
par les écpialions analogues
Cela posé, je ili-, (piOu aura conslaiiiiiieii!, w étant réel cl plus petit ipie a-, (8> I -/!<"./•
F^our cela, je vais supposer que l'inégalité (S) a lieu pour c^, z-i, ..., :g,, et démoiilier qu'elle a encore lieu pour :,/.
SIR LES COlItBES DKI'INIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. III
En eflcl, s'il en est ainsi, on a. on coniparanl les relations ( [ bis), (iV) cl (7), (9) \-:,\<"'rr
La fonction :,/ n'est pas entièrement déterminée j)ar les éfjuations (1 b/s); ces équations ne nous donnent en effet que la dérivée de Zq en fonction de 3o, ^3, . . ., Zj i. Il en résulte cjue :^ n'est connue qu'à une conslante d'intégration près. Nous disposerons de cette constante de telle façon que a^ s'annule avec co.
Dans ces conditions, l'inégalité (9) entraîne l'inégalité
Donc on a
et, comme pour les petites valeurs de p, F| est convergent quand co varie de zéro à 2~, il en sera de même de F,
Mais, d'après la façon dont nous avons déterminé les z,/, ce sont des fonctions trigonomélritpies de (o (dans le cas où tous les Cq sont nuls). Si donc F converge pour les valeurs de o) comprises entre zéro et 2—, celte série devra converger pour toutes les valeurs réelles de w.
Il est à remarquer cjuc, si, partant de la série F telle que nous venons de la définir, on repasse des coordonnées polaires 0 et w aux coordonnées rectilignes X et y, F ne sera |)his une série ordonnée suivant les jiuissances croissantes de X et de y. Cela tient à la façon dont nous avons disposé des constantes d'intégration, de façon que z,/ s'annule avec w.
11 |)oiirra se faire alors, par exemple, (juc l'on ait
F = p-+ p^(i — cosu) -h. . ., ce fHii donne
En effet, si l'on tient à ce que F soit une fonction holomorphe de x et de y, on peut disposer de la constante d'intégration (que nous avons appelée plus haut A„) lorsque q est pair, mais on n'en peut plus disposer quand q est impair. Il ne sera donc pas possible en général de s'arranger pour que Zg s'annule avec w.
Cela n'a d'ailleurs que peu d'importance au point de vue qui nous occiqic, mais il est aisé de tourner la dificulté. On a
tu si.i i.i:s roi'RBi'S nici"ixii:s par les i^hations i>iimi;iii:.\tii:i.i.es.
Soit F^ 00 (|nr (li\ hiil !■ (piiuid Dii \ cliant^c o on — g, cl 'o on w -f- — . On aura encore, eonuiie II e>l ai^c île le ^ôrilicr,
dm Si rfp
ear — — eliaiiLe de sii;ne iiiianil on \ eliani;e c en — r,, ri lo on w + -. C)n aura
doni' enooro
d(F-^F,) R rf( F -<- F. ) dw ~ Q dp
ot la série F + F2 sera convergente ponr tontes les valcni-s réelles do (o, ))0urvn que p soit suffisammcnl petit. Si d'ailleurs on repasse aux coordonnées roililignes X et y, F -+- Fo sera une fonction holomorplie de jc et de y. On voit donc ([u'il cNiste toujours, si tous les C„ sont nuls, une série F convergente, ordonnée sui\ant les [)uissances de x et dey et satisfaisant à léqualion
^. dF ^ dF
d.r ay
En résumé, pour qur V oriij;ine soil un cenlre, c\'st-à~dirc pour cjue la liajecloire du point mobile soil stable, il faut et il suffit que toutes les quantiti's que nous avons appelées C,, soient nulles à la fois.
Toutefois, il sera sinnonl difficile de reconnaître si ces conditions, on nombre infini, sont remplies à la fois. 11 y a donc intérêt à sif;nulcr des cas où l'on est corlain (l'avance que tous les C,, sont nuls.
.le ne signalerai (juo le plus simple d'entre eux.
Supposons (pie, (piand f)n change y en — y, sans changer x, X se change en — X cl que ^ no change pas. .le dis (pio les trajoctoiios du point mobile seront des courbes fermées syniélrupies |)ar lapporl à l'axe des x.
En ell'el. partons, pour ^ = o, diin p;)inl inilial situé sur l'axe dos .r. La vitesse initiale du |)oiiil mobile seia, d'après les li\pothèsos fiiites, perpendiculaire à cet axe. Si l'on change t en ~ t, y en — y, x en — x, les é(piations du mouvement et ses conditions initiales ne changent pas. Donc le polni mobile (jccupei'a aux li'iiips t et — t den\ poinis du plan symélricpies par rapport à l'axe des x. D'apn-^ la foruie des équations, si le point de déjiarl de noire mobile est sunisaniinenl Miisin de l'oiigine, il arrivera à une époque l„ où sa Irajecloire viendra i-eeoupei- l'axe des x. Ainsi, aux deux époques to et — /„, le point moliilo (i(cuj)era un même point de l'axe des x. Sa trajectoire sera donc
une courbe fermée, et il résulte de ce qui précède qu'elle doit être symétrique par rapport à l'axe des x. Donc on est ccrlain d'avance (pie tous les C,, sont nuls.
On rencontre un exemple du cas que nous venons de signaler dans un problème astronomique sur lequel M. Tisserand a bien voulu appeler mon attention. Delaunaj a rencontré dans sa théorie de la Lune les équations suivantes :
de
de - / .
On suppose que, pour t =^ o, e est très petit et que, le coefficient M étant de l'ordre du carré de celte jjclile quantité, les autres coefficients sont finis {Mémoires de VAcadémie des Sciences, l. XX\ 111, p. loy).
Delaunaj donne les expressions suivantes :
e cosO = SA,- cosi(%e -+- c), c sin 0 = S B, sJn i(a i + c) ;
mais il ne tiaile pas la question de la convergence cl de la [)Ossiljilité du développemenl.
Les équations sont de même forme (nie celles (pie nous éludions. Posons, en
cdet,
c cosO = X, c sin 0 = j',
il \ iendra
dr
^ =Mjj(Mi- !■,+ M2eî-Pieî) — N7(i-t-N,€'!-l-N2e'>+Nj £'■■]= X,
^ = M -h Mj'H^Ii + M2 e-) + M.r'( P, + P^ e'-) -+- .N.r(i -h N, -^.^ \, e'--^ N3 e») = V,
e- = -r- + 7' ; X et \ b'aniuileni, [)our j' = o,
(10) M(.i-l- PiJ!-+ P'-v'-) + Nir(H- NiX-^-i-^,x-+ N3,r6j = o.
En vertu des liypothéses faites sur les coefficients, ré(piatioii (10) est satisfaite pour X =zXi, X, étant une quantité très petite de l'ordre de j\L ' Le point x ^ x^, y = 0 est un centre; car X change de signe et Y ne cliange II. V. - I. ,5
Il4 Srn I.F.S COURDFS défîmes P\n les IQI'ATIONS niFFÉRENTIELI.ES.
pas quand ou cliangc v en — r. On ot't donc ccilnin d'avance que toutes les quanlités que nous avons appelées C,, sont nulles à la fois.
Il en résulte que x et r sont des fonctions périodiques du temps /, qui peuvent être r<'présentéos par des séries de la forme (ditenue par Delaunaj.
Si l'on a reconnu d'une manière ou d'une autre ipie toutes les quantités Cg sont nulles, on est certain qu'il v a autour du centre une certaine répon du plan R qui est sillonnée |iar des courbes fermées ou cycles enveloppant le centre et qui sont les trajectoires du point mobile ilans la région considérée. Au delà de la réi;ion 11. les trajectoires seront en général des spirales. Cette région sera limitée par un certain cycle frontière qui sera la dernière trajectoire fermée. Je dis que ce cycle frontière doit passer par un point singulier.
En effet, nous pourrons toujours tracer un arc sans contact venant couper ce cvcle frontière, ainsi que les trajectoires fermées qui en sont très voisines et se prolongeant au delà de ce cycle frontière en dehors de la région R. Nous définirons la position d'un point sur cet arc à l'aide d'un paramétre t qui sera, par exemple, nul --ur le cycle frontière, négatif à l'intérieur de la région R et positif à l'extérieur de cette région.
Reportons-nous maintenant au Chapitre V (II'' Partie) (') et à ce que nous avons appelé la loi de conséquence
Pour les valeurs négatives de /„, on est à l'intérieur de R; les trajectoires sont fermées, et l'on a
Au contraire, pour les valeurs positives de <(,, on est hors de R; les trajectoires ne sont plus fermées, et l'on a
'pi('o)<'o-
Il est donc impossible que la fonction j, soit holomorphe pour /o= o. Donc, en vertu du théorème XIII (t. VIII, p. 25J) (-), le cycle frontière doit aller passer par un point singulier.
('j Voir ce 'i'oinc, p. 4'|.
I') Voir ce Tome, p. 47.
