ÉQUATIONS DF, DKGRÉ SUPÉRIEUR
Nous allons étudier maintenant les équations clilTérentielles du premier ordre et de degré supérieur, cest-à-dire les équations de la forme
dV
dr
dz dF dV
'dt ~
■ dz '
dl ~
~^dJ'
dl ~ d.c "^ dy
V étant un nolynome enlicr en x, )' cl -;-■ ' • ■ dx
\ oici le mode tl<' représentniion géoméuique ipie nous adopterons. Nous pourrions d'abord en\isager la surface
et exprimer les équations du mouvement du jioiut mnlulesur cette surface, de la façon suivanic :
{■xbh)
1 II dx dy dz . . , ,
de telle soile que -j-, -j-- , -r- sont égaux a des pol3'nomes entiers en r, j', r.
C'est là le mode de représentation le plus simple, toutes les fois que la surface F( /■, )', z) n'a pas de nappes infinies ou de. singularités gênantes. Mais il peut être avantageux, dans certains cas, d'employer un mode de représentation plus général.
Posons
les fonctions es,, '^o et Ja étant rationnelles en x^ i , ;.
Sauf des cas exceptionnels que nous laisserons de côté, on déduira des équations (2) et (3) les équations
(4) Fi(?, ^,, Ç) = o
et
F, étant un polynôme entier et B,, Qj, Q3 des fondions rationnelles. Les deux surfaces (2) et (4) se correspondront alors point par point par une transfor-
Il6 SIR I.KS COIRBES UÉl'INIF.S PAU LES lilJlATlONS DIFFÉRENTIELLES.
malion liiralioiinclle, ol l'un auiM
d^ (ft) dt
les fonctidiis 'l,. io et -i/j étant rationnelles.
On |K)una ili^posci- de ee qu'il y a d'indéterminé dans la transformation hiralidiinrije Ç\) [imii- (jue la Mirfaee ('i) n'ait pas de nappes infinies el aussi piiiir atteindre dillérents autres huis, par exemple pour faire disparaître des singularilcs gênantes. Voici donc comment nous nous poserons le problème des équations difTérentielles de degré supérieur.
On donne une sni^raee S avant jHnir- é(piali(iu
et u'avant pas de najipes infinies; el l'on demande d'étudier le mouvement d'un point moliilc sur celte surface, les équations du mouvement étant
■ dx £^ Y "Il —7
Tn ~ ' di " ' Tt" ■•
où X, Y el Z sonl des polynômes entiers en J7, y el :; avec la condition
d? dV dV
