H — — 1 -\ — ;— Z = MF

dx ily dz

Etudions d'abord les trajectoires du point mobile dans le voisinage d'un point M de la surface. Nous distinguerons le cas où le point M est un point ordinaire de la surface S (tout en pouvant être un point singulier pour les équations difTérentielles) et le cas où le point M est un point singulier de la surface S.

Dans le premier cas, on pourra exprimer, dans le voisinage du point M, x, y el z par des fonctions holomorphes de deux paramètres u et cet de telle façon que les Irois déterminants fonctionnels

0( II, ^' ) 0{u, I') t^l", 1'^

ne soient pas nuls à la fois.

On pourra écrire alors

du ^^'' V

'di ~ ' Tït ~ '

L et \ étant des fondions liolonioipiies en // et en r. On est alors ramené à l'élude des courbes planes définies par une équation diflcrentieile du premier

SIR LES rOlRBES DEFIMES PAR LES ÉQUATIOXS DIFFÉRENTIELLES. 1:7

ordre el du jimuirr degré; car, dans k' \oisinage du |ii)inl considéré, les fonctions U el y onl tous les caractères des polynômes entiers.

Si le point considéré e^t un point ordinaire, il passe par ce point une trajectoire et une seule.

Si c'est un point singulier de l'érpiation didérentielle, c'est-à-dire si U ^ V = o, ce peut être un col, un foyer, un nœud ou un centre, présentant les mêmes propriétés que les points de même nom définis dans la première Partie (').

Dans le cas des équalions (2) et (2 bis), les points singuliers sont donnés par

les équations

dl' dl' dF

dz d.r dy

Supposons maintenant que le piiint envisagé soit un point singulier pour la surface S elle-même, c'est-à-dire que l'on ait

dF__dV__dV dx dy dz

Ce cas se ramène au précédent. Supposons d'abord, par exemple, que la surface S présente une couri)e double, que le point considéré soit un point de cette courbe double, et que les deux plans tangents en ce point soient distincts. Alors on pourra exprimer, dans le voisinage du point envisagé, x, y ei z en fondions bolomorphes de deux paramétres u et c, et cela de deux manières, l'une des manières se rapportant à l'une des nappes de la surface qui passent par la courbe double, et la seconde manière à l'autre nappe. On retombe donc sur le cas précédent.

De même, supposons que le point considéré, que nous pourrons prendre

pour origine des coordonnées, soit un point conique du second ordre. Soit,

par exemple,

F, étant un polynôme homogène de degré i en x, y, z. Considérons la portion de celte surface qui est voisine de l'origine, c'est-à-dire du point conique. Je dis que nous pourrons, par une transformation birationnelle, transformer cette portion de surface en une autre qui n'aura pas de point singulier. Il suffit pour cela de poser

(') Voir ce Tome, p. i\-i-;.

IlS sin l.KS l-Ol'RHES DKI'IMES l>\R I.KS lioiATIONS niFFKBENTIELLES.

d'où

Celte Iransformalioii l)ira(ionnellc est donc réciproque et elle a pour efTet de transformer la surface F dans la suivante :

-"-5 F. H- -"-•■■ (i — -) Fj-l- ;"-»(! — ;)î F; + . .. + fi — i)" F„= o. Cette surface transformée est coupée par le plan : = i suivant la conique

et elle ne présente pas de point singulier \c long de cette conique. D'ailleurs, la portion de la surface S, voisine du point conique, devient, après la transformation, la |iorti(»n de la surface Iransforniée voisine de cette conique, c'està-dire une portion de surface dépourvue de point singulier.

On est donc encore ramené au cas précédent. D'ailleurs, nous supposerons, dans ce qui va suivre, que la surface S ne présente pas de pareils points singuliers.

D'après les hypothèses faites, la surface S qui est algébrique n'a pas de nappes infinies ; elle se compose donc d'un certain nombre de nappes fermées S,, S.>, ..., Sp séparées les unes des autres. Au point de vue qui nous occupe, il nous suffira d'étudier séparément la forme des trajectoires sur une de ces nappes, sur la nappe S| par exemple.

Il est une notion qui va jouer un rôle fondamental dans ce qui. va suivre, c'est le genre de la nappe S, au point de vue de la géométrie de situation.

\ oiii la définition de ce genre. Si l'on [leut tracer, sur la surface fermée S,, p cycles fermés n'avant aucun point commun, sans partager la surface en deux régions séparées, et si l'on n'en peut tracer davantage, on dira que la surface S, est de' genre/) (ou ce qui revient au même qu'elle est 2/> 4- i fois connexe). Ainsi la sphère est de genre o, parce qu'on ne peut y tracer de cycle fermé sans partager sa surface en deux régions. Le tore est de genre i, paice qu'un cercle méridien ou un cercle parallèle ne le divise pas en deux régions; et, si l'on a tracé sur la surface un cercle méridien, par exemple, on ne peut plus y tracer un nouveau cycle fermé, ne rencontrant pas le premier, sans partager le tore en deux régions.

Terminons ce Chapitre en étendant au cas qui nous occupe un théorème important de la première Partie ( ' ).

(') Voir ce Tome, p. 8.

SIR LKS COlllBKS DÉFINIES PAR LES EQUATIONS DI FKÉRKNTIELLES. Ilg

Nous conserverons la convention faite au commencement de la deuxième Partie (' ), c'est-à-dire que nous supposerons que toute trajectoire qui va passer par un nœud est arrêtée à ce nœud, et que toute trajectoire qui va passer par un col est continuée soit à droite, soit à gauche, par l'une des branches de courbe qui vont passer par ce col.

Cela posé, il est clair que les trajectoires peuvent se partager en Cjuatre catégories :

1° Les cycles ou courbes fermées;

1° Les trajectoires qui sont arrêtées à un nœud ;

3" Les trajectoires qui se terminent en tournant indéfiniment autour d'un foyer dont elles se rapprochent asymptotiquement;

4° Les trajectoires que l'on peut prolonger indéfiniment sans jamais revenir au point de départ, sans jamais rencontrer un nœud ou se rapprocher asymptotiquement d un foyer.

11 est clair que la longueur de ces dernières est infinie, soit (pi'iin compte cette longueur d'arc sur la surface S, elle-même, soit qu'on la compte sur la projection de la courbe sur un plan quelconque.

Considérons maintenant une trajectoire qui ne rencontre aucun cycle algébrique qu'en un nombre fini de points. Il est évident qu'elle ne pourra appartenir à la troisième catégorie, car tout arc algébrique passant par un foyer rencontre en une infinité de points toute trajectoire qui tourne indéfiniment autour de ce foyer. Je dis cpi'elle ne pourra jias non plus appartenir à la quatrième catégorie. Pour cela, je vais faire voir que, en supposant qu'une trajectoire de cette catégorie ne rencontre aucun cycle algébrique qu'en un nombre fini de points, on trouverait c|ue la projection de cette trajectoire sur un certain plan devrait avoir une longueur finie, ce qui est contraire à ce que nous venons de voir.

En efl'et, considérons la portion de la trajectoire décrite par le point mobile depuis une certaine époque i = ïp que nous déterminerons davantage plus loin, jusqu'à / = 4- oc.

Nous partagerons la surface S, par un certain nombre de cycles algébriques en un certain nombre de régions, telles que chacun d'eux ne puisse être rencontré (ju'en un seul point j)ar une parallèle à l'axe des z. Ces cycles algébriques ne seront rencontrés par la trajectoire qu'en un nombre fini de points. Donc nous pourrons prendre /„ assez giand pour que, à partir de l'époque ^„, le

( ' ) \'olr ce Tunic, p. l\'\.

IJO SIR LES COl'RBKS DKFI.MKS PAR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

poiiil nidliilc ne rencoiUre [tins aucun de ces cycles el reste, j)ar conséquent, à liult rieur diine dos régions (jue nous venons de définir.

H arrivera alors (|ue*, à [larlii- de l'époque /„, la projeclion du point mobile sur le plan des xy restera couslaniment à l'intérieur iliiiie certaine région (înie R de ce j)laii.

Considérons sur la surface S, le lieu des points, tels que la projection sur le plan des xy de la trajectoire qui passe par ce point présente un point d'inflexion. Ce lieu sera algébricpie et, par cousécpient, ne pourra être rencontré qu'en un nombre fini de points par la trajectoire que nous considérons. Nous pouvons donc prendre tg assez grand pour que, à partir de cette époque <„, la projection de cette trajectoire sur le plan des xy ne présente plus de point d'inflexion et soit, par conséquent, une courbe convexe.

Le lieu des points de la surface S, où l'on a -^ = o, et celui des points où l'on a ^ = 0, sont encore algébriques. On peut en conclure, en raisonnant comme nous venons de le faire, que l'on peut prendre /„ assez grand pour