C1I\P1TUE XIII
niSl llIlinillN DKS IMIIMS SIMilLinitS.
Piepreiifnis l:i na|)|)e S, de i^eni'c yo, cl supposons que celte ii;ippc ne présente ni point eonicpie, ni cf)urlje multiple.
.S(jienl (i le noinlu'e des cols situés sui- celte nappe, .N le noiidjre des nœuds, F celui des loyers; je dis (pion iuira la iclalion
Traçons sur la sui'faee S| un cv(de (pielconipie. Ce cycle seia touché en cci'tains de ses poiul^ pai- di\erses traiecl/)ir(vs, mais les unes le touclicront extérieuremeul, les auli'es intérieuremeul. Soient K le niuuhre lies contacts cAléiieurs, l celui des conlacts intérieurs: l<' noridii'e
s appellera Vui'licc du cycle. Si le evcle pré>enle un piiinl aiii;uleii\, il piuirra ari'iyer ipic la liap'ctoire (pu passe par ce poiiil liaxcrse ce e\(le en passant lie l'extérieur à l'inléricur, aiupicl cas ce point \\r dnil |ias compter pour un conlact. 11 |ioiiria arriver aussi ipie celte trajectoire ne |)asse pas de l'exlérieur du cycle à I lulérieur, mais reste conslaiiuueiil a l'extérieur si le point anguleux est saillanl, ou eoiislammeut à rinlérieiir si le point ani;uleux est l'culranl. Alors le point anguleux devra eom|)lei' |Hnir \\\\ contact extérieur ou inlcrii'iir (voir la jireniière Partie, jj. .i.j). \ous sup[)oserons (jnc le cycle a clé choisi, de fa(;on à partai;er la napjie .S, en deux régions dont une au moins simplement connexe.
Si la nappe .S, est de genre o, les deux régicms sont toutes deux simplemeul onnexes, et il 1' Ira une eonventiiui spi^ciale pour décider la(]uelle des deux
doit être regardée' comme l'intérieur dn cycle
Si la nappe S, est de genre >• o, l'une des régions sera simplement connexe, et l'autre nuilliplement connexe, et ce sera la première que l'on considérera comme l'intérieur du cycle.
Cela posé, joignons deux points A et B par trois arcs de courhe AMB, ANB, II. P. - I. ,e
I >. '. SIH l.F.S COUIUIKS Dlil'lNlES l'An LES KQl'ATIONS IIIEFEIIENTIEI-LES.
AI'B (^/'i,'. .!o ). Anus ilrl<'i'nuiirnin'- aiii>i tiois ocli's
C, = AiNBMA, C.2= APBNA, C3= AI'BMA.
I.c liiii>iciiK' |i<inii'a (HiL' rct;artlc comiiH' la somnu' dt's doux aiiU'es
C3 ^ Cl -H G2,
Je ili-- i|iic 1 1)11 aina
inJ. C3 — ind, Cj + ind. Go
(III. rc qui iixirnt iui mt'liu',
E|, Ej, E;, olaiil le nduilii'c (les coulacls cxlcricurs, I,, I^, I3 celui des contacts inlcriciir.s des liajecloires avec les trois cycles.
Ces contacts .se (li\i.ser(int en cinq catégories : 1" Ceux (|ui (inl lieu le Imi;; de AMB.
2° Ceux (|ui oui lieu le loui; de APB.
Les |)remi('rs 11 a|ij)aili(uiieni ([u'aux cycles Cî, et Cj. les seconds n'appartiennent qu'aux cycles (]^ cl (ij. Un contact d uni^ de ces deux catégories entrera donc' deux fois (lall^ le premier membre de l'égalité (\), une fois avec le signe +, une fois avec le signe — ; les termes correspondants se délruironl.
.3" Ceux (pii ont lieu le long de AÎNB.
Un contart de celle ralégorie est exleiicui- pour (., cl luléiieiir pour C^, ou inversciiicnl. Il rulrna ddiic deux lois dans le jireniief memhre de l'égalité [l), une foi> a\ec le tignc ^- cl une foi> avec le signe — . Les termes correspondanls se déiniiioni .
.'j" Ceux qui peuvent avoir lieu en A.
Sui\;tiit la position de la tiajecloiie qui passe en A, on pourra avoir :
Ou Lien un contact extérieur pour les trois cycles;
Ou bien un contact extérieur pour le cycle C, seulement ou pour le cycle Co seulement;
Ou !)lcn (flans le cas sciilemenl où je point A serait un angle rentrant du cycle C3 ) un contact intiriciir jiour le cycle Cj ;
Ou Lien encore (dans le cas seulement oïi le point A serait un angle rentrant des deux cycles C, et C^, ) un contact intérieur pour les cycles Cj et Cj et un contact extérieur pour C,.
Dans tous les cas, la somme des termes corrcspoiidaiil> i\u premier membre de ( I ) se réiiuira à — i .
.")" Les contacts cpil mil lien en H.
Pour la même raixin, la somme de* termes corropondanU se i(''duira à — l.
Le premier iiuMllbrc de (l) se réduit donc à — 2, de telle laeoii ipie celle égalité est vérifiée.
Donc l'indice d'un cycle total est égal à la somme des indices des cycles partiels qui le composent.
Cherclions maintenant à délermiiiei' l'iiiilii e d'im cycle liiliiumeul pelil.
Si le cycle infiuimeiil pelil n l'iixeloppe aiiciiii pniiil Miigulier, nous pourrons toujours suj)poser ipiil est convexe, car, s il ne 1 éUiiL pas, mi pouirail le
Kié. 3i.
Fig. 32.
décomposer en plusieurs i'\ ejes plus petits encore el convexes. Alors la ligure .i l indique c[ue le cycle a seulement deux contacts extérieurs avec les trajectoires MP et M"P'.
L'indice est donc égal à o,
Si le cycle enveloppe un col, nous le supposerons encore convexe, etla ligure .Jii montrera ipi'il a quatre contacts extérieurs, et que son indice est égal à i.
•2j Sltl Li:s COlRilES DiiFlMKS l'Ati LES ÉQl'AtlO^S Dlt'FÉRËNTtELLtS.
Si 11' ivclo (•ii\ cldjiiK' un iinMid (III iiii foviM', je ilis (iiir M)ll indice est — I. l'.n ('l!ct. diins le \oisinai;i' il un miMiil nu diin fovcr. un )ii)in'i:i liiiiiours mcnci' un rM'Io sans conlarl (|ur niuis su|)|iosiT()ns loiil riilicr intriiour au (•>('lr cnnsidcrô. Clr rvclc ((uisidcrr |)i)iina alors ("•tro décomposé en plusieurs autres, à saMiir : le (■\(Ic san^ conlad dunl d xicnt d être cpieslion cl daiiires çvclcs c(inM'\es n ci!\ (dii|ipanl pas le pmni sini;iilicr. l/indice du c\clc sans conlad sera égal à — i ; celui des aiilrcs cycles, à o.
l/indicc du cvidc lolal sera donc - i.
Il l'c-idlc de liiiil ce ijui préccdi' (pie l'indice d'un e-\cle (pieleoiupie est cL;al au ii(iml)i'c (les c(d> ipi d cdnlieiil dinmiiié du nomlirc des nieuds et de celui des li)\crs.
Les centres (pu sont des points sint;uliers exceptionnels rentreront, à ce point de \iie, dans les foyers; en cU'el, autour d'un centre, on jieut mener un cycle Icrmc avec (leii\ contacts inléiieiirs et deux contacts extérieurs; ce cycle aura alors pour mdicc i .
.Niiiis allons iiiainlenaiil parlaL;i'i- la surt'ace de la iiajipi^' S| er. un certain nomlirc de rcuiiin> siinplcincrit coiuiexcs eu \ Irai anl un cerlain nomhre de
CNclcs.
l^a somiiie des milices de tous ces c\elcs sera é\ideninicnt
l'iiiir é\aliicr. d nue aiilrc inanirrr. celle soninie d'indices, ncuis assimilerons à un |)ol\é(lre la li;;iire lorniee par la nappe S, dnisi'een régions simplement connexes.
1 nul le luiiiide eiiiuiail le lliéoréme d l'.iiler, (I après lc(piel, si a, [j, " sont le uciiiilire de> laces, des arêtes et des sommels d nu pol \ cdrc co/iCCre, on doit
avoir
Ce lliéiuéiue s'i'lend aisément au cas dû le pdhèdre, au lieu d'être convexe, forme une surlacc de t;eiire p: lui Iroiixe alors
Mai-,, eu L;edmelJie de sil liai kjii . un ii a |)as à s inipiieler de la Idiine des iace.S cl de.s arêtes: iidii-, iiaxons dune pii', hesdin de Mi|ipdser (pie les faces du polyèdre sont planes, el ses ariiLes rcctili^ues. il en lésiille ipic la lli;iirc, formée par la nappe S, divisée en réifions simplemeui cdiinexcs, est un véritable
StlR LES COliiBES DÉPlNlES ^An LES ÉQLATiOSB DIFFKllENriËLLES. l2*J
poljèdrc (■ur\iligne auquel bappliquo le tlicdi-rnio liEulcr. T^os faces soûl alors les régions siinjilcnirnt connexes elles-mêmes; une arcte sera la portion du périmètre d'une de ces régions qui lui sert de frontière commune avec une région limitrophe; un sommet sera l'extrémité d'une arête, c'est-à-dire un |ioinl commun au périmètre de trois ou de jilusieurs régions.
Sujiposons qu'un sommet soit commun au périmètre de v régions; il sera assimilable à un angle solide à v faces d'un polyèdre rectiligne. On aura, d'ailleurs.
Nous pourrons, d'ailleurs, supjioser que les angles, formés par les diverses arêtes cjui aboutissent à un sommet, sont tous saillants.
Nous cherchons à évaluer, j)our l'ensemble de nos cycles, l'excès du nombre SE des contacts extérieurs sur le nombre SI des contacts intérieurs.
I) aboicl nous n aurons pas à nous ])réoccuper (b's <-onla(ls (pji ont licii en un point d'une arête ; car, si un parcd contact est exlciiciii- par rapjioil au es clc ([ui loiine le périmètre d'uiu' d<'s (b'ux régions auxcpiello 1 arè-tc sert di- Ironlièrc commune, il sera un conlacl lulcricur poui' le |iéiiniètre d<' la sccoude d(> ces régions, et réciprofpiemcnt.
Nous n'avons donc à (■onsi(bTcr (juc les ronlacls ipii peu\cnt a\iur lien aux sommets. Soit donc un sdininct commun à v cycles. La lra|cctoii-c qui passe en ce |ioiul lia\erseia deux de ces cycles et aiii'a un coulail extérieur avi'C les V — 2 autres. On a donc
lE — XI = lie — -i) = rc — 2--= -ip— ay
La soiuiue elienliéi' des indices est, d'ailleurs, égale à
Il \ lent donc
11 résulte inimédiatemcnt de cette formule (pii^ les surfaces de genre i sont les seules tpii puissent ne présenter aucun point singulier.
126 SIR LES COURBliS DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
