GÉNÉRALISATION DES DEUX PREMIÈRES PARTIES

\(>us alldiis i'i'j)i'cii(lr(' niaiiilciiMiil cliaciiii do llicdicmcs des Cliapilres 1\ à \ I pour \oir s'ils sVHeutK'iil au cas qui nous occupo el dans quelle mesure ils doi\ cnl ("Ire niodiUés.

Le ihéorènic \ I, d apiès lequel l(uil evelc ali;éi)ii(jue a un nomlire de eoii laels pair, est eneore \iai, mais seiileiiieul des cycles (lui divisent la nappe. S, en deux ré<;ions dont une au moins simplement; connexe.

En ellel, l'indice d'un pareil cycle, qui dépend du iioini)re des points ,sinj;uliers qui y sont contenus, esl essentiellement entier. Donc SE — ïl et, par conséquent, l'E-f-SI, c'est-à-dire le nomlire des eonl acts, sont toiijiuirs pairs.

Le théorème Nil, d après lecpiel, si l'on peut mener t'utre deux points un arc quelconque sans contact, on peut aussi mener entre ces deux points un arc algébrique sans contact, est enctire \ rai pour les écpiations de degré sii])érieur. On n'a pour s'en assurer ([u"à se reporter à la démonslration de la page 38, première Partie. Nous aurons loutelois une modification à\ introduire; nous représenterons 1 are sans loniacl par les é(puitions

les extrémités de cet arc correspondant à < = o, / = -. La démonstration continuerait de la même façon (jue dans la j)rcmiére Partie. Il nu])orle de rciuar(pier (pie les séries

dx „ , x< . t .?■., t

—!- = ^ m A,,: cos ml sui — i = cos -,

cte i ■>. 1 1

dy „ „ Y\ ■ I K- f

—— = i./)! B,„ COSmt — =^511) r ^^^cos -

lit 2 2 2 2

sont non seulemeiU convergentes, mais uiiifoiinéiueiit convergentes, ce qui esl nécessaire pour la suite de la démonstration; car la somme de la série

^m Pi.,11 cos mt,

reprenant la même valeur pour /et pour 9,~ — /, est une fonction continue de / quand <'etle vanahle croil de - y^ à -l- X .

SUR LES COURBES DEl'MNIES PAR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. I27

Le tiléorème Vlll et sa dénionstraliou subsistent aussi sans modification.

Si donc on pcul joindre deux points A et B par un arc sans contact, et si A, et B| sont deux points des trajectoires qui passent par A et B, on |)ouria également joindre A, et B( par un arc sans conlacl.

Le tiléorème IX s'énonce ainsi :

Ce tiléorème subsistera encore dans le cas qui nous occupe, pourvu que le cycle ABA|B| partage la nappe S, en deux régions, dont une simplement connexe.

TnÉoRiiME X. — Si un arc de trajectoire qui ne passe par aucun point singulier est sous-tendu par un arc de courbe, le nombre des contacts de cet arc de courbe est impair.

Ce lliéorènie sera encore vrai, si le cycle formé par les deux arcs divise la nappe S| en deux régions, dont une simplement connexe.

Ainsi les tliéorèmes du Chapitre IN , ijui c<uisliliienl ce qiiej'ai appelé la lliéorie des contacts, s'étendent as'ec quelques modifications au cas qui nous occupe. Je passe mainlenani à la lliéorie des conséquents.

Soient

un arc algébrique sans conlacl, et IM,,, M, deux points consécutifs d'inlersection de cet arc avec une même trajectoire. M| est le conséipicnl de M,,, M,, l'antécédent de M|, et si t„ et /, sont les \aleurs de t cpii correspondent à ces deux points Mo et M,, la relation qui lie <, et ^q est la loi de conséquence.

Les théorèmes XI et XII ne subsistent qu'avec dinijiortantes modificalions sur lesquelles nous reviendrons plus loin.

Le théorème XIII, au contraire, reste vrai pour les éqiialions de degré supérieur.

Si t^=l'^^{l„) est la loi de conséquence, la fonction ^i est holomorphe. 11 n'y a d'exception que pour les valeurs de t„ qui correspondent à une trajectoire allant aboutir à un point singulier avant d'avoir rencontré de nouveau l'arc sans contact, et pour les valeurs de /„ ou de ;, qui correspondent aux extrémités de cet arc sans contact.

12S srr. i.i:s coi riiuis di'm'imks paii i.i:s 1:1.11 viions niri'iciiicMiiii.i.KS.

I.i' llirciri'iiii' \l\ icslc \iiii rj;iilriiirnl . niiiis l;i ili'nniiisl rnlKin ilml l'Iro modilirc, cai- li' cncIi' M„ilM| \,|M,| iloiil il (•^l (jucsIkiii (lan>- la (IciiKui'-lral khi iloiiiK'c (laiiN le (llia|iilrc \ |iiiiii'iail ni' |ia' |iai'laj;ci' la na|i|ic S, eu ili'ii\ ri'iiiiiiiv. Mai-- vciil l'ii lin |ii>imI mIik' sur I arc saii> CDiilarl ciilrc iN,, cl iM , i \(iir Ai'. III. |i. ji). M'' l'ailic) cl à une ili-lanci' lime île N,,. .Sinl 1', un poinl siliir .-iir I arr saii-- cnnlacl adrinh' ilc M, li à une dislaiirc lime de ce |Miinl. .lini;ii(ins l'i, l'i par ni' arr di' ((inrlir Ici ijiii' je r\ ilc Icriiu'; M||ÏM , l'i l',. M,, cnlcrnir uni; iviiKMi sriii|i|rini'iil iiniiicxc I .a lra|c(l()irr 'N'uN, ne |iiMirrail MMlir At- ci'llp rri;iiin ■-ini^ s (■liiii;iiri' de la I ra|ci'li)ir(' MuM, à iiiir dislaiici' lime un sans la IraM'i'si'r. ce ijiii rsl un |iiissil)lc. I )iiiic je 1 11 nul \ , doll ('■Iro à d niilc dn |i(iiiil M, .

^v dis (|ii'iin |iriii idiijdiirs iiicner sur la na|i|i(' S, des cycles sans coiitad. Ku ell'cl :

1" l)ans le \iiisiiiai;(' drs iiir'uds el des l'iiM'r's, on |)ciil Irarcr des cycles sans (iinlarl rn\ cldiiiianl (les |ii)inls sini;iilirrs.

;'." Si m II il \l I siinl ilrii\ |ioinls d inli'r.srchiiii cimsccnlils dune li'a|ecloire M„I'M, li dnii are sans ((inlact ]V1„QM|, le cycle M„QM,PM„ |imirra èlre l'egardc (■(iminc sans ennlaii. Smenl en ellel N,, un |iiiiiil inlimnienl voisin de Al|, el à ilrmle de ci' jiniiil eiiniine dans la lii;iiie 1 n ipie nmis \ emins de citer. \| le eiinséi|iieiil du |iiiiiil \||. Nuiis |iiiii rriins Iraeer dans la région inliniiiieiil ni I née ei 1 ni | irise en Ire les den \ I ra|eeliiires M^ M , cl Nu N 1 un arc iNuRM, iieeiiii|iaiil eliai|iie [ la |eel 1 n l'e (iniine lois. Le cy(;le l\||!lM|QÎ\o, (ini dillei'c inliniiiieni |ieii de Mu l'NFi (^)M„, sera alors sans eontacl.

\iiisi donc, si la na|i|ie S| cmiliciil nii incnd on un ioxer, on sera ccriaiii d |>oii\oir Iraeer un e\cle sans conlacl : si elle n'en ciinlienl pas, lonle lra|ecloirc de\ra eiiii|ier an niiiins nu e\ele alj;élirM| ne eu une inlinilé de poinls (à moins (le se réduire à un e^ele lerim'', eoinine nous l'axons \n dans le (^liapilie \H). Ce cycle algélji'ii|iie |)onri'a Tire |iarlai;é en un noinlire lini d ares sans conlacl. Donc an moins un de ces ares sans conlacl sera couin' par la liaieiioirc eu une infinité de jioints. l'armi ces pniuls, nous retiendrons deii\ points lonséculifs Mo el M) et ils nfiiis doiineroni un <\cle sans conlacl, ainsi ipi on \ienl (le le voii-. // y a donc laii juiirs des cycles sd/is conlacl à moins ijkc lotîtes les Irajectoircs ne se réduiseni à des cycles fermes.

Si un cycle san.s conlacl divise la nap|)e S, en deux régions dont une simplement connexe, cette dernière conlicnl au moins un ninid on un liMcr.

Si:il LES COniBKS ODMMES l'An LES EQUATIONS DIFFKIIEMIIÏLLKS. I >9

En c'UVl, I iiitlicc ilii (Ncle sans conlacL est l'gal à — i. Si donc N, F et C désignent le nombre des n(j'iiil>. des foyers cl des cols contenus à l'inléiieur de notre région siinnlemeiil e(>nue\<', ou aura

ce c[iii dénionlie le lliéorénie énoncé.

Sii])j)oson'^ mainlciianl que le cycle sans conlacl di\i''C la nappe S| <'n deux régions pmnanl tontes den\ rire iiudli|ili'inciil e(iiinc\r-. .le dis (|ii d \ aiiia des points singuliers dans ciiaeune de ces deux régions.

Soil R l'une de ces régions c[iie je supposerai q fois connexe 11 > agit île trou\ei' rindiee du cycle sans contact V. eu consitlérani la région \\ comme l'intérieur do ce cvcle. Nous |H)urrons cons|niir<' uni^ calotle H| smipleiuenl connexe el admettaiU pour frontière le cycle (-1. L'ensemble des d<'ii\ rcgious lî

el 1*1, i(iriiiera alors une siiilace lermée de genre -^ > ceipii pniuxeeu passaiil

ijiie <i doil être impair ( c/'. RiEMAKN, Gcsammellc McUliejncitisclic Jf cr/,e, l'^éd.,]). 1 :> : l.ei|izig, 'l'eiibiier. iS-()i. l'osons doue

Si nous décomposons la réguin 1» eu un eerlaiii iioiiibre de régions simplement connexes, la surface fermée K -1- U| pourra être assimilée à un jmh édre. En appliquant à ce polyèdre le lliéorcme d'Eulei' el en raisonnaiU comine dans le Chapitre précédeni, on iroiivera

indice de C - S( — i/i.

^i désignani la somme des indices des cycles à 1 aide desiiucls la région 11 a été partagée en régions simplement connexes. Or, si N, F et C sont les nombres des nieiids. des foyers l'I des cols de la région 1!, on a

Si = C — N — F.

De plus, le cycle (1 elant sans contact, il \ienl

imlicr de C :^ — I ;

C — N — F = 2A — I ou

N-hF-i-G = i, (iiiod. vt),

ce ipii prouve ([lie \, F el C ne peuvent pas être nuls à la dus.

Vu poiiil de \iie (pu nous occupe en ce momenl. Iniile lia|eeloire lermée ci ne passiinl par aucun point singulier pourra élre assimilée à un c\cle sans con-

1 JO Sl'R LES COl'RnKS DEFINIES PAR LES EOUATIONS DIFFERENTIELLES.

tact, je veux dire riue son indice sera éj;al à — i . L'iie irajeetoire l'crniéc n'a pas d'indice à jM-ojn'emenl parler, mais les cycles cpii en dillerenl infininienl peu en auroni un. cl je dis que cet indice sera — i. En etlol. il peul se présenter deux cas :

SoitMol'^r,, une lraje(l<iire fennec, soit AM,, 15 un arc sans conlact, soit/ le paraïuèlre cpii délinil la pusiiinn d'un piiinl sur cet arc; soil o la valeur de (

qui correspond à Mq. Soit

la loi de conséquence sur notre arc. On aura

11 pourra se faire d'abord que la fonction es, — /„ ne soit pas identiquement nulle. Dans ce cas, soient t^ une valeur infiniment petite de /, N^ le point correspondant,N, son conséquent et /, la valeur infiniment petite correspondante de t. Soit NoQN, l'are de trajectoire qui joint N„ à N,. Le cycle NoQN,N(, qui différera infiniment peu de MuPMq ponrra être assimilé, d'après ce qu'on a \u plus haut, à un cycle sans contact. Dans ce cas, la trajectoire fermée MoPM„ est un cycle limite et jouit des propriétés de ces cycles démontrées dans la deuxième Partie (').

Il peut arriver aussi cpie la fonction es, — ^i, soit idenlicpiement nulle. Dans ce cas, les trajectoires voisines de MnPMo sont des cycles fermés s'enveloppant mutuellement.

Si alors on nu'nc un cycle infiniment peu dinèrent de MoPMo. le niuiibre de ses contacts extérieurs sera le même que celui de ses contacts intérieurs et son indice sera encore — i. c. q. f. d.

Si donc une trajectoire fermée partage la nappe S| en deux régions, il y aura des points singuliers dans chacune d'elles.

Donc tout cycle algébric/iie qui passe par tous les points singuliers rencontre tous ceux des cycles sans contact et toutes celles des trajectoires fermées qui partagent la nappe S, en deux régions.

C'est la généralisation du théorème X\'I de la deuxième Pai'tic (^). Passons maintenant à la généralisation du théorème XVIII qui est l'objet principal de ce Chapitre. Ce ihéorême généralisé s'énonce ainsi :

(') Voir ce Tome, p. 53.

(') Voir ce Tome, p. Oo.

SUR LES CDLBBES DÉFINIES PAR LES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l3l

On peut sillonner la nappe S, par une série de cycles et de poly cycles [courbes fermées à point double)^ de telle façon que par chaque point de cette nappe passe un de ces cycles et un seul, excepté par les foyers et les nœuds qui seront regardés comme des cycles infiniment petits. Parmi ces cycles, les uns seront des cycles sans contact, les autres des trajectoires fermées.

Si le genre p de la nappe S, est égal à o, la généralisation est immédiate. En efiet, pour démontrer sur la sphère les théorèmes X à X\III des deux premières Parties ['), nous nous sommes appuyés seulement sur une propriété de la sphère, celle d'être simplement connexe ou de genre o.

Il est encore un autre cas où celte généralisation j)eut se (iuic iiiiniédiatenniit. Supposons qu'on ail découpé sur la na|)pe S, une région R ilniil)h'iiicnt connexe et limitée par deux cycles sans contact C et C. Supposons de plus (pic cette région R ne i-enferme aucun point singulier. Je dis que le théorème \\ 111 s'appliquera à cette région, c'est-à-dire qu'on pourra sillonner celte région j)ar une iniinilé de cvcles K qui seront tous des cycles sans contact ou des trajectoires fermées.

11 est clair d'ailleurs (jiic ces cycles K dcv roiil ("trc disposés de fa(;oii à partager la région R en deux autres, la première, limitée par les cycles K et C, la seconde |)ar les cycles K et C. En d'autres termes, il n'est pas possible que le cycle K t'ornic à lui seul la frontière d'une région R' conlciuic tout entière dans R. En cllct, l'indice de ce cycle est égal à — i, tandis cpie R, et par cunséqucnt R', ne rcnlernu'rait pas tie point singulier.

Divisons niainlcnanl, à l'aide d'un |iuinl M cpiclcoïKiiic, loute trajectoire en demi-trajectoires analogues aux demi-caractéristiques des deux premières Parties (2). L'une de ces demi-trajectoires comprendra les points où le point mobile passera après être passé au point jM et l'autre les points où le point mobile était passé avant d'arriver au point M.

Les demi-trajecloires se di^ iseront alors en trois catégories :

1° Les trajectoires l'ermées qui rcsleronl touL entières à l'inlèiietir de R; 2" Les denii-lrajccloires qui s'étendront indéfiniment sans jamais se fermer, et sans jamais sortir de R;

( ' ) loir ce Tome, p. 4^-65.

(•) loir ce Tome, p. S et 44'

Ij* sth l.tîs (oinilES lH;iiNil;s i^AR l.ks liotAilONS ilill'i.iil:Ntilît.LËSi

.')" I.t'> (li'ini-lniiccldii'cs (|ul Miitnil de K par 1 un des rjclcs C cl C.

Nous (•oiiiiiiciicorous |)i\r enhuircr les liiijeelmi'es fermées dans des tiiincaiix liiniles ainsi que nous l'a\iuis f'ail dans la deuxième Paiiie ( |). ()i). A cet cflet, joignons nn |niint de (. à un |)iiinl de (■' par un arc algébrique qnelconqne. Cel arc algébrique pouria èlre décomposé en un nombre fini d'arcs sans contacl. l'ar diacune des extrémités de ces divers arcs je lais passer nn petit arc sans eonlacl. .lai ainsi trace à lintérienr de R nn certain nombre d'arcs sans contacl et je suis cerlain (pie lonle demi-trajeeloirc de la ])reniiérc catégorie rencontrera au moins un d entre eux.

Considéion-' un (pielconque de ces arcs sans contact et clierelions quels sont ceux des points de cet arc qui ont un consécpient. Nous convenons pour cela qu(\ si la trajectoire tpii passe par un point ~Sl„ d(> l'are sans contact sort de la légion 11 ou SI elle ne ^ient ])lus couper de nouveau [l'arc sans contact, le pi)int Mo sera regardé comme sans conséquent. .Si, au contraire, la trajectoire (jui passe en ^I,, \ient <ou|)er de nouveau l'arc sans contact en un pojnt jM|, sans être sortie de 11. le [loini M, sera le conséquent de Mo-

Parmi les arcs sans contact, en nond)rt' Uni, (pie j'ai tracés dans la région P», les uns ne seront rencontrés par aucune trajectoire fermée de la première catégorie et devront être rejelés, lo autres seront rencoiilrés par au moins une trajectoire Ceiiiiée; je le> a|)pelleiMi iirrs auxiliaires.

Considérons un are aiixiliairc ipuleoiupie ; Mir cet arc on pourra toii|ours trouver des jioinls admcllani nu ('(Uisétpient ; car le ])oinl où il esl (■ou])^ par une tiajectoire fermée esl son propre conséquent. De plus, aucune trajectoire issue d un point de l'arc auxiliaire n ira passer par un col, puis(pie la région R n'en renferme pas. La courbe de consé(pience aHeetera donc l'une des formes indiquées sur la ligure i i (11'^ Partie, j). ,")o).

Nous avons vu que, si 1 On joint un point M,, d'un are sans contacl à son conséquent !Vf( par un arc de trajciloiic MiJ'Mi. le cvcie i\f,|PM|iMo ]ieiii être regardé comme un cycle sans contacl. Il v aurail exee|)tion, bien entendu, si les deux points IMq et M, se confondaient, auquel cas le cycle sans contact se réduirait â une trajectoire fermée. Nous tra(;ons les cycles sans contact ainsi obtenus pour lous les points de lare auxiliaire (pu admettent un consé(pient. L'ensemble de ces cycles formera alors un anneau limite comme ceux que nous avons envisagés dans la deuxième Pailie.

Cet anneau limite seia silloniu' par une si-ric de cv(les sans contact dont

SLH LES COtJRBMê DÉFINIES tAft LES ÉCjtÀtlONS t)ltFÉRË^•TlkLLËS. t3i

(]n(Ii|iie.s-un.-, se rcduiront à dos lr;ijecloires fermées. Déplus, cel anneau limite partagera la région R en deux autres régions analogues Pi' et R", ne renfermant plus qu'un nombre moindre d'arcs auxiliaires.

En continuant de la sorte sur les deux régions R' et R", on arrivera à partager la région R en un certain nombre d'anneaux limites et en un certain nombre de régions inlcrannulaires à l'intérieur descpielles on ne [jourra plus tracer aucune irajecloire A'rméc {cf. W l'artie, p. 63).

Considérons une de ces régions interannulaires; elle sera tout à fait analogue à la région R; seulement on n'y pourra pas tracer de demi-trajectoires de la |>rcmiére catégorie. Je dis cpi'on n'en pourra pas non ])lus tracer de la deuxième.

En ellet, loulc demi-trajecloiie de la deuxième catégorie admet un cycle limite (pii ne |)oiirrail être qu'une demi-lrajeetoire de la première; car, dans rintérii'ur de la région I\, les tliéoièmes du Gliapitrc ^ s"a|)|)liquent sans restriction; donc une demi-trajectoire ne peut rester constamment à l'intérieur de la région interannulairc qui n'est traversée par aucune trajectoire de la première catégorie.

Ainsi une région inlcrannulaire ne peut renfernu'r (pie des dcim-trap-ctoircs de la Iroi-'iènie catégone; don il suit (pie toute trajectoire (pu tra\erse cette région \a alimitir de part et d'autre à deux extrémités situées sur les deux cycles y et y' (pii limitent la région. Il n'est pas possible (pir les deux extrémités soient sur un mémo cycle y; car un arc sans contact ne peut sous-lendre un are de lra|e(i()ire.

Donc toute trajectoire tracée dans la région mteranmilaire \\\ d un point du cycle y à un point du cycle v' ; ce (pii démonlre la possibilité de sillonner cette région de cycles sans contact.

Le théorème XVIII est donc démontré pour la région R.

Un cas particulier digne d'intérêt est celui où la loi de conséipiencc sur un des arcs auxiliaires s'écrit ^i = l^. On reconnaîtrait alors par un raisonnement analogue à celui que nous a\ ons emplové à la lin du Chapitre \l, en ri'iiiar(piant (pic ha région R ne renferme aucun point singulier, (pic liuiles les trajectoires qui traversent celte région sont fermées.

Si on laisse de côté ce cas particulier, toutes les trajectoires fermées sont des c^xles limites; elle théorème XVII, d'après lecpiel ces cycles limites sonl en nombre fini, se généralise aisément. (11 ne s'agit jusqu'ici, bien entendu, que des cycles limites et trajectoires fermées situés tout entiers à rintéricur de R.)

l34 SUR LES COIRBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES.

Les tiléorèmes XMI et X\ III sont encore vrais quand un des cycles C et C ([ui liniilenl la ivi;ion Pi, au lieu d'être un evclc >aiis eonlact, devient une traleihiiic t'eruiéc. il ^ aurall exceplion toiitclois [lour le théorème X\ II si le evcle C se réduirait à une Irajectoire fermée allant passer par un coi.

Il nie reste, pour démontrer les tliéorèmes WII cl WIII dans toute leur généralité, à faire voir la possibilité de décomj)oser la nappe S, en un certain nomlirc de réi;ions telles ipie R.

Pour cela, nous allons d'ahord faire rpielques remarques préliminaires.

Nous av(uis \u (pic si Ton joiiil deux poinls Mq et JM, dun arc sans contact par un arc de Ira jc( loirc M„I'M|, le c\cle MqM, l'Ai;, ])eut être regarde comme sans conlacl. c csl-à-dire t[ue par cliacun de ses points on peut mener un cycle sans conlacl <pii dillere infiniment peu du cycle MoMiPM,,.

De même, supposons qu'un arc de trajectoire MpQM, vienne aboutir en Mi à un c>ele sans conlacl M|PM,. Je dis que le cycle M, PM) QiMoQM, pourra cire regardé comme sans eonlact.

En ell'et. soient M;Q'M;, M;;Q"M';, ...,MÎQ''Mf des arc^ de trajectoire infiniment peu différents de MoQM,. i\ous pourrons toujours tracer un arc de courbe, (piittant le cycle sans contact M, PM, en M',, coupant chacun de ces arcs de trajectoire en un seul point, allant passer par le point M,, et venant rejoindre le cycle sans conlacl en M^''. Le culc fermé M'' PM', Q"Moi\l'; , (pii difl'rrc infiniment peu de M( PM, Q^IoQMi, sera alors sans contact.

Imaginons maintenanl qu on ait liacé sur la iiappc S, un certain nombre de cycles sans contact (ou de trajectoires fermées ), el qu'on ail délcrminé ainsi sur cette nappe une certaine région P limitée par ces divers cycles sans contact. (11 peut se faire que la région P contienne la nappe S, tout entière; ainsi supposons (juc .S, soit un tore, cl qu'on ail tracé sur ce tore un cercle méridien C qui soit un cycle sans contact. La iia|ipc S, forme alors tout entière une région P limitée par deux cycles, car on (ii'\ra dislinguci' les deux lèvres de la coupure que Ion a failc sur le tore. >

Cela posé, je dis «pie par tout jioinl Mo de la région P on peut tracer à i intérieur de celle région un cycle sans contact. Considérons, en effet, la demi- Irajecloire qui passe par M,,. \ oici les cas «pii pourront se présenter :

l" Il j)ourra ai'rivcr iiue la dcmi-lra|i'<ioirc >r ferme sans èli'c sortie de la région P. C'est le seul cas d'exceplion; on ne pourra pas faire passer par le poinl M„ <lc cycle sans contact, mais sculemcnl une irajectoire fermée.

SUR LES COIUBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DlFFÉnENTIELLES. l35

2" Ou Ijien que hi ilcmi-trajcctoirc MuQM, sorte de la région P en M, par un des cycles sans contact (iiii la limitent, jtar exem|)le par le cycle M,HM,. Dans ce cas, le cycle M, HM| QMqQM, peut être regardé comme sans contact, ainsi qu'on vient de le voir.

.5" Ou bien que la demi-lrajectoire aboutisse à un nœud ou à un foyer. Ce cas se ramène au précédent, car on peut entourer le nœud ou le foyer d'un ])etit cycle sans contact, que la trajectoire est obligée de traverser pour aboutir au nœud f>u au foyer.

4° Ou bien cpie la denii-trajccloire s'étende indéfiniment, sans se fermer, sans aboutir à un nœud ou à un foyer, et sans sortir de la région P. On pourra alors trouver, dans la région P, un arc sans contact qui coupe la demi-trajectoire en deux points N„ et X,. Il s"cnsuit, d'après le théorème \ III, qu'on pourra joindre M^ à un autre point ^I, de la demi-trajectoire par un arc sans contact. Dans ce cas, le cycle formé par Tare sans contact MjM, et par lare de trajectoire M„|M| |)ourra être regardé comme sans contact.

Ainsi l'on pourra toujours mener, par le point M,, et dans la région P, un cycle sans contacl qui |)ourra. dans certains cas, se réduire à une trajectoire fermée.

Si le point AI,, est un col, il aboutit à ce col, non pas deux, mais quatre demi-trajectoires. On peut alors mener par le point M,, deux cycles sans contacl formant, par leur ensemble, une courbe fermée à point double.

Cela posé, voici comment nous opérerons pour jiartager la nappe S, en régions analogues à R. Nous commencerons par envelopper tons les nœuds et tous les foyers par des cycles infiniment petits sans contact. Soit dans la région P ainsi déterminée un col quelconque ; parce col, je pourrai faire passer deux cycles sans contact; j'aurai alors divisé la nappe S, en régions P plus petites; j'opérerai de même sur chacun des cols, et j'aurai finalement partagé la nappe S, en un certain nfimbre de régions R limitées par des cycles sans contact et ne contenant aucun point singulier.

Je dis que chacune de ces régions est doublement connexe et limitée par deux cycles seulement.

Supposons, en eflVt, que la région R soit q fois connexe et limitée jiar n cycles.

Nous aurons d'abord [roir Riemann, loc. cit., p. 12) y > « > o, q ^s n (nio;).2i.

l3(j SIR LES COIRBES DÉFÎMES PAU LES ÉCJUATIONS DlFrÉRENTlELLF-S.

Uo plus, cliacuii des cycles a pour indice — i, eL il n'y a pas de point sin- Hulier dans la région. Si nous fermons la région R en construisant, sur chacun des cycles C (|ui la limitent, une calotte simplement connexe, puis que nous divisions la région cllc-nu'mc en tloniaines siniplenicnl connexes par des cNclcs C . UDiis obliendrons une sorle de polyèdre ciir\ilii;ae (pii sera d

iicnrc ^ Le liiédiènic li'Eider nous doniu'ra donc

si l'on ilésii;nc parSi la somme tics indices des cycles C cl parS(' la somiuedes indices des cycles C. Or on a

Ain^i loules nos régions sont doidjlcmenl connexes el limilées par tieiix cycles : nous pouxons donc sillonner cluicune d'elles de cycles sans contact, ce (pii déiiiDnlre le lliéoréme XVIII dans toute sa généralité.

Quand on aura construit sur la nappe S, une série de cycles sans contact et de cycles limites s'cnveloppant mutuellement, on pourra s'en servir pour construire les trajectoires elles-mêmes.

Si nu cycle sans contact divise S( en deux régions, il ne juiiiira cire coupé (11 pliii d'un poinl par nue luème trajectoire.

Cela ne sera plus \iai, au ((inlraiic, si le cycle sans conlacl ne partage pas Si 111 ilrii\ iégliin>: mais, nu'nu' dans ce cas, la considéraliou des cycles sans roulai l 11 eu cijiisirve pas moins une iiiipnilaucc capitale. C est ce cpie l'on compi-endra mieux par les exemples (jue je vais donner dans le Chapitre suivant.

SUll LES COURBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS Dll-EÉUENTIELLES. 13;