CHAPITRE XV
fillDF. l'ARTICILlfiRH UU TORi:.
Les surfaces de i;eiii'e i sont, comme ou la \u. les seules sur lesquelles il puisse n'exister aucun poinl singulier. Après le cas des surfaces de genre zéro, f[ui ne diffère pas en réalité de ceux qui ont été traités dans les deux premières Parties, le cas le plus simple qui puisse se présenter est celui des surfaces de genre i sans point singidier. C'est donc celui que nous allons étudier en détail.
Pour fixer davanlage encore les idées, je sujiposcrai ipie la suiface S, se réduit au toi'C
Mais liiul ce fiuo nous dii'ons du loïc s'appliquera à uni' surface quelccinque
du geiir<' I, ((ui n'en dill'èi-e |)as an pcnnl ilr \ uc <lc la gédini'lrie de situalmu.
^ous poserons
a- = (^R -r- /■ cosio; cuso,
^ = (R -h /• cos(o) sin o,
a = /■ sin 10.
Nous mettrons les équations dillérenllelles sous la IVunie
dt dt
U cl '1' dc\ii)nt être des polynômes entiers en cos(o, sinoj, cos-j et sin'i. On trouve, d'ailleurs,
.r(a:'-+- ys.,. -•>■ r; ,.2, y
cos te = -r— — , sin o = co-io — >
z X coso + )' sin cp — R
sinto = —, COSO) = ■ : i ,
ce (jui montre que si 0 et <I> sont des polynômes entiers en cosw. sin t.), cos'j
dr dy dz ^ ,■ ■ ■ n
et sin'j, -y-, -f- et -7- seront des fonctions rationneffes en .r, y cl :. ' dt dt dt •'
Pour bien saisir la suite de la discussion, il faut se reporter aux Ciia-
pilres Mil et IX (IP Partie). Nous allons, en efi'et, applicjuer les mômes
méthodes et partager le tore en régions acjcliques (sillonnées par des cycles
lîS Sl'll l.i:!i COIKBFS DKFINIKS l'AR l.lvS ÉQUATIONS DU TÉRENTIELI.ES.
sans conliicl, |)iiriiii k'squcls il n'y a aucun cycle Imulc), en régions cycliques ( sillonnées par ilcs cycles sans conlacl, parmi Icsrpicls il y a certainemenl des cycles liniiles'l. en régions nKinocjcliqucs (où il y a un cycle limite et un seul), et en iéi;ii)n> ddiilcuses (où l'on ne saurait aflirin( r (|u il y ail ni (ju il n'y ail |m-- (II- c\c\c iiniiU')- l^a iliseussion sera lerminée lorsqu'il ne reslera plus (pie tics régions acycliques el monoeycliques.
Le problème revient donc à savoir si une l'égion esl cyclique, el si elle csl inoniu\ cliipie. \ oiei les règles rpie nous ap|)liqiicrons pour le reconnaître, el qui iK' siToul aulre cIkisc (pic celles (pie nous avons exjjosées dans le Clia-
piiiv \ m.
i" Soii une région R doublement, connexe limitée par deux cycles sans conlacl (' cl (]'. cl soit AMR un arc algébrique quelconque coupant ces deux cycles eu V cl en iî. Considérons un observateur suivant cet arc et pénétrant dans la légion R par le point .\. S'il a à sa droite la demi-trajectoire qui s'étend dans la région R à jiailir du point A, nous dirons que le cycle C est positif, il sera négatif dans le cas coniraiie. Sujiposons maintenant cjue l'observateur, en suivanl cet arc, sorte de la l'égion R par le point R. De ce point R partiront deux demi-trajectoires, lune «'étendant à l'intérieur de R, l'autre à l'extérieur de celle région. C'est cette dernière que nous considérerons. Si elle est à la droite de l'observateur, le cycle C sera positif (cf. Chap. YIII, ]i. 'j()).
Si les deux cycles sont de même signe, le nombre des cycles limites contenus dans la région R est de même pai'ité que le nombre des contacts de l'arc AMB; il est de parité difTérente dans le cas contrairi\
En particulier, supposons que les deux cycles C el C soient deux cercles méridiens o = 0^ et ip = tp,. Supposons que, dans la région R et sur sa frontière, a soit constamment de même signe; sup|)osons que le long du cycle C un ail
el (INI' Ir long ilii cycle C' on ail
da
l'i'iiioiis |ioiir l'arc AMI? l'arc de parallèle (o - o, rpii est sans contact. Les deux cycles seront de signe contraire. I^e nombre des cycles limites contenus dans R sera donc impair. Donc celte région est certainement cyclique.
•à" Soient 0 et 'j les coordonnées pcdaires d'un point dans un plan; supposons
SUR LES COURBliS DKFINIES PAU I-KS ÉQUATIONS DlKFÉnENTIELLES. 1 Sg
qu'on olablissc enlre w et -^ d'une [);irl, p et f( d'aiilre pari, une relation telle que la réj;iou R ilu Lore et une cerlaine région II, (loublcmcnl eonnexe du |)lan se correspondeut |)oint par point et d'une l'ueon uniforme. Suj)posous que, toutes transformations faites, l'cMpiation difl'érentielle proposée s'éeri%e
Si dans la région 11 il y a plus de deux eycles limites, i\ y aura forcément dans la région des points (u'i
do .
-~ = o ou l>ien o = x
dp '
{cf. Clia|i. Mil. llieoréme \I\ ').
Soient, en partieuliei',
K étant une ct)n' la.'.te cpieleontjue.
Si dans la région R la fonction Q ne s'annule pas, ni non plus la fonc-
tuin -j— ) la région U est certainement acyclique on monoevclique.
Nous étudierons d'abord l'exemple sui\ant :
dt ■ dt
a. h. c étant do e(iii>lanlc> l<'lli's que
a > 6 > o, a -h II <^ i . c >■ o
Nous poserons
a -i- Ij ^= cos'Jo, Il — 0 — cosui,
les angles 3,, et 's,, étant compris entre o et— ■
La valeur de -j- ne s'annulant jamais, |(Hl^ le>- parallèles w = const. >ont des
cycles sans contact. \<iilà donc un premier système de cycles sans contact parmi lesquels il n'y a aucun cycle limite.
Maintenant, on voit aisément que, si a est compris entre 'j, cl 2- — a,,
da .... . . . do , -,■ T
-~ est positii, et que, si cp est compris entre — 'J(, et -+- ■sj„, -^ est negalil. Le
tore se trouye ainsi ]iartagé en quatre régions, les régions
14(* SUR I.KS COl'UBKS UEI'IMKS l*All l-ES KQUATIONS DlFFÉRENTlËI.LtîS.
OÙ lou> les nu'iidioiis soûl tics cycles sans conlacl [ce soiil des régions acjcli(|ues'^, cl les régions R (oo<; a < a,) et R'( — cp,<;cp<; — cp,,) fH" sont iii)iiieiises.
( ".onsidérons. eu piirliculier, la l'éj^ioii R. ,1c dis {j'ahoid ijij elle esl e^eli(jue, lar- ou a
> o pour le cycle o = tfi,
de
^ o pour 11' <'jcle u = 'in
el . de j)lii>.
Les deux cycles sans conlacl o ^ o, et es = o,, qui liuiitenl la région R sonl dou<' de signe contraire, si l'on prend pour l'arc AMB, dont il a été question plus haut, Tare sans contact w := o. Donc la Légion R conlienl au moins un cycle limite.
De plus, elle n'en peut couleuir plus d'un: car, si elle en eonlenail deux, on
ile\ lail a\()ir a l luleneur (le t> soil 12 = o, soil —r- = O.
