CIO
( )r il ne - annule lauiais, et — ;- = sin 's, ne peut s annuler (lue pour z = niTZ. ■' (t'a ' ' II,
c Cst-à-dire en dcli(U'> de 1{.
Ddue dau'^ la légion li ou peul Iraeer un e>ele liniile el un seul, (jiie I appelle ( '-.
I^our la même raison, dans la région R', on peul Iraccr un cycle limile et un seul que [appelle C.
iSous sommes donc conduits à un second système de cycles sans contact parmi lesquels il y a deux cycles limites C et C et une infinité de méridiens.
Les deux cycles C et C partagent le Hn-e en deux régions 1' el 1", loiites deux sillonnées de cycles sans conlacl. (ionsidérons le ])()inl nudiile dont le MKiiiveniciil es| deliui par iio> é(pialioiis diHéreulKdles. Si, à l'origine du lenips. ce poiiil iindiile esi dans une des deux régi(jns P ou 1", il n'en pourra jamais sortir. .Si donc sa coordonnée o e.st à 1 Origine du leiiqis com|)rise entre es, cl '2T. — a,, elle restera toujours comprise entre et,, el ar — 'i„.
De plus, dés (pie le piuiil iiioliile aura franclii un des cycles sans conlacl du second sysléme. il ne pourra jilus le Iraneliir de nou\eau. Quand le lemps croîtra indéliniineul, le p(uiil uioliile se rapprocliera asvniploli(piemeiil de 1 iiu des deux cycles C et C
SUR LES COUhBKS DÉFÎMES PAU LES ÉQUATIONS DIFPlCftENTIELLES. l4l
En d'autres ternies, et pour reprendre le langage du Chapitre X, l'orbite du point inoliilc sera instable.
Le second exemple que nous traiterons sera encore plus simple cpic le précédenl.
.l'écrirai simplemenl
</(i) rfto ,
dt ' dt '
a cl b étant deux cun;.lanles positi\e>. On \(iit immédiatiiiiint que tous les parallèles et tous les méridiens sont des cycles sans contact, cl que l'intégrale générale s'écrit
— = -^ = const.
Si le rapport j est commensurablc, toutes les trajectoires sont ierniée»; il y a donc stabilité.
Supposons maintenant ipie le rapport j soit incomnicnsurabic : il y aura
encore stabilité en ce sens, que si l'on considère une portion/; du tore, si [letite qu'elle soit, cette portion sera traversée une infinité de fois par une (piclcdiupie des trajectoires. Si le point mobile occupe à l'origine des temps un certain point A, il ne viendra pas repasser en ce point, mais il \iendra nue Inlinilé de fois passer en des points infiniment voisins. Considérons la courljc
(O = cç -t- (/,
c étant une constante commensurablc et d une constante (pielcoiMpic. Cette courbe sera un cycle fermé, et il est aisé de voir que ce sera toujours un cycle sans contact.
On peut donc tracer sur le tore une infinité de systèmes de cycles sans contact, parmi lesquels il n'y aura aucun cycle limite.
I>es deux exemples qui précédent suflisenl déjà j>our laiic comprcndie que la présence d'un cycle limite est un signe d'instabilité, et l'absence d'un pareil cycle, un signe de stabilité. Mais, pour mieux se reniire compte de ce fait important, il est indispensable de pénétrer plus avant dans la question.
Nous supposerons, dans ce qui va suivre, que w et o vont constamment en croissant avec le temps, c'est-à-dire que Q et $ sont toujours positifs, et de plus qu'il n'y a sur le tore aucun point singulier.
Considérons le méridien o ^ o, qui sera un cycle sans contact. SoitM(o)
l4i SI U LUS COlUBliS UÉl'INIES PAR LKS EQUATIONS DIKKERENTIKLLES.
un |Hiiiil <li' ce nuTidiru où sr Iroiivc le jiniul inoliilc à l'uriyiue îles lenips. Ce ]iciiiil ;iiii'a polir cooidoniiées
(0 = 0, U) = lOj).
Si roii lail (Toitrc le leinns. (■> el -j cioilidiil é^iileiiicnl, de sorle (lue o liiiira
Il ' 1 t
par devenii- égal à 3.7:; le point mobile sera venu alors en un ])oinl M(i) (pii sera situé sur le eyele sans contact o := o d'où nous sommes partis, qui sera le conséquent du point M(o) et qui aura pour coordonnées
(ip = 1-K, ta = 10]).
Les deux quantités w,, el w, seront liées pai- une certaine relation qui n'est autre chose cpie la loi de conséquence du Chapitre ^ . J'écrirai cette loi sous la double l'orme
(Oi=4>((0o), (Oo=0(UJ, ).
Les livpolhéses faites permettent dénoncer au sujet de celte loi de conséquence les principes suivants :
Premier principe. — La fonction 'L est continue.
Deuxième principe. -~ La fonction i croît constamment avec o),,, de telle sorte que
rf(0(| ^
li . ilr plu--, on a
4/(wo+ 2-) = il/(ujo) ^ 2-
Troisième principe. ■— La l'onction 'L est liolomorpiic jioui loutes les \aleiirs réelles de too.
D'ailleurs, il est clair que la fonction 0 jouit des mêmes propriétés que la fonction '|.
Soient maintenant 'M(i), M(2), ..., M(/) les conséquents successifs et M( — 1), M( — 2 ), ..., M( — i) les antécédents successifs de ftl(o). Leurs coordonnées cO), ti)2, ..., (iJ^i, w 2) ••• nous seront données par les équations
<"1 =<{'(Wo), tu, =4('|l((0a), 0)3 =l)^()/tj/(lO(,), ...,
(U, -- 0 (oJo), 0J 2= O6((0o), (0.3= 669 (lOo), ....
Les points M forment un ensemble de points que j'appelleiai P, d'après la notation adoptée par M. Cantor. J'aj)pellerai 1" l'ensemble dérivé de 1\ c'està-dire l'ensemble des points dans le voisinage desquels il j a une infinité de
SUE LES COURBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l/jS
points apparleiianl à l'ensemble P. Enfin je désignerai par
l'ensemble des points communs à deux ensembles P et Q. Je renverrai, pour plus de détails sur les ensembles de points et l'emploi des notations qui précédent, à divers Mémoires de M. Canlor, parus en allemand dans les Matheinalisclie Annalen {t. 15. 17. 20. 21) el en français dans les Acta niat/ieinatica (t. 2, p. .J49-4o8 ).
Je juiis alnrs me poser les questions suivantes :
i" Quelles sont les propriétés de l'ensemble P des points M cl de ses dérivés ?
2° Dans quel ordre circulaire sont disuibiics les points M sur le cercle méridien es = o ?
Je vais démontrer d'abord rjue l'on a
ou bien
En (1 autres termes, si l'ensemble P a un ])oinl comuuin aM'c scui dérivé P', tous ses points feront partie de cet ensemble dérivé.
En effet, soit M(i) un point de P appartenant à P'; d'après la définition deP', il j aura, dans le voisinage de M(j'), une infinité de points appartenant à P. Nous pourrons donc trouver une série de points
M(A-,), M(A-.), ..., .M(X>'), ... appartenant à P. et tels que
limM(A-;,) = M( n pour p = x. Cela posé, soit M(vl un point quelconque de P. Considérons les points
M(A-,— /-Hv), M(A-j— j-hv), ..., M(A-,,— i-f-v), ....
En vertu de la continuité de la fonction di, on aura
limM(Ap — £-1- V I = M(v) pour p = x.
Donc M( v), cl, par conséquent, tout point de P appartient à P'.
La condition D(P, P') ^ o, traduite dans le langage du Chapitre X, signifie
I 44 !*<"' i.Ks COI itHi;s mh'i.Mics pah i.ics k(.>iations i)iFriiiiENTii:i,i.Ks.
([Mc lii tr,iic(li)lic ts| iiisiahlc. Rn illrl, le [xiiiil ^[(i)) u'appartt'iianL [)as à P', le |>iiiiil inohilr ne i't\ ii'iiilra |iiiiiai-. diiiis le \ (ii>iiiai;(' (l( son point ild départ.
II y a cNcrpliiiii Idiilclois Idrxpic la lra|rcl(iii-c r>l Icrincr.
Théoiikmi; W. - Si ton a pour toutes les trajectoires D( I'. 1" ) -- o, /'/ y a certainement an cycle tiuiitc. à moins (jue toutes les trajectoires ne soient fermées.
Suit, en ('H'cl, N((i) nu pdiiil de 1*', dans le \oiMuai;i' tlu(pi('l se lr(Hi\c pai' dolinilii)a iine inliuili' de poinU de 1'. Soil (^ rcnsonililc des points N(/), c't'slà-diiT des antt't'i'dcnls el des consrcpicnls succcssits do 1N[(()).
11 n'est pas possible ipie, dans tout inlei\allc' compris entre deux points qnelconqnes de P, il y ait nn point de Q; ear, dans le voisinage de N(o), il y a une infinité de pareils intervalles : il y anrait donc une infinité de points de (). ( T ipii est impossible en vertu de 1 livpotliése
Soient donc M(^o) et M(/) deux points de P entre lesfpiels il n'y ait aucun point de i). Il n'y en aura pas non plus entre M(t) el M(2/); car. si le point ^{k) se trouvait entre M(/) et M(2/), le point N (A" — /") serait entre M(o) cl M(/), pnisque la fonction 'h est constamment croissante. Il n'v on aura pas non |(lus dans 1 intervalle eompils entre ^\{pi] et M(/>i -|- i). De plus, si le point .M(t )est à droite du point !M(o), par exemple, le point M(/j/+/) sera à droite de M(pô. Lorsque/) croîtra, la seconde coordonnée m du point M(yo*) variera donc toujours dans le même sens; elle ira, par exemple, toujours en croissant, mais elle ne pourra croître indéfiniment, sans quoi N(o) se lrou\erait dans undes intervalles. Cette coordonnée w tendra donc vers une certaine iiniiti' (pii coricspondra à \\\\ point P( o) du cercle méridien; on auia donc
lini M(pi ) = P(o) pour p ^= -jz.
( )n III di'diii I
lim M (/)£-+-/,■) = P(A),
limM(/>j H- i) = P(£), . P(o)=l'(0.
Ainsi le /"""•, consérpiciii du point P(o), est ce point lui-même. Donc la trajectoire qui passi' par ci' point est fermée, et il est aisé de voir (pie (''est un
cycle llliillc.
]ji condilioii Di'P. P' ) ;— p signifie (jue la trajectoire est stable. En ell'et, dire
SUR LES tOUBBliS DKFIMKS l'AU LliS ÉOI'ATIONS DUPÉnENTIELLES. I^i
que le pciiiil de départ M(o) appartient à 1*', i-'est dire que le point mobile re\icndiii une iiifinilé de fois dans le voisinage de ce point.
Si donc on a, pour tontes les trajectoires D( P, P') ^ P, la stabilité est certaine. (]Vs( ce qnl ari-ive, par exemple, dans le second des exemples cités plus haut.
Mais on peut se demander s'il n'arrne pas aussi cpie l'on ait 13(P, P') = o pour eertaiiio Irajeeloire^ cl l) ( P, P' ) ^ P pmir d'auli-es; ce sera là r(U-ii;ine de toutes les dil'licultés <pie nous rencontrerons dans la suite.
\vant d'alli'i- plus loin, je \ais établir le lemme suivant :
Soient M ( o } e/ y>{ o ) deux points quelconques, M( « ) et i\ ( i) leurs /"-'"'" conséquents. Si ces deux derniers sont contenus tous deux dans Vintericille M(o), I\(o).ye dis quil y aura un cycle limite.
En ellel, s'il en est ainsi, les deux points M(2/) et jN ( 2 < ) seront compris
tous deux dans rinlervalle M(«) N(/), les deux points M(.'^t) et N(,'i/), dans
rintersalie M(^a /) N(2 /), Donc, lorscpie p croîtra, la seeou<le coordonnée (o
du p(unl ■M(/^() \aricra l(ui|ours dans le même sens, sans pcuniur j)ouitaiit
dépasser une certaine limite. ( )n en conclut, comme plus haut. re\i>teii<e d un
point P( o ). le] (pie
liiiiiM(/u') = Pio) pour /) = X,
et, par conséquent, celle d un c^cle limite.
Occupon.s-nous maintenant de déterminer l'ordre circulaire dan.s lequel sont disposes les jjoints M({), en laissant de coté le cas où il v a un cvclc limite et où cet oixire se détermine aisément.
Soient a„ la longueur de l'arc M(o)M(i), a, celle de l'arc M(0 M( 2 ), ... et, en général, a, celle de l'arc M ( «')M(f + 1 ). Je dis ipie le rapport
tendra, quand on fera ci-oître /( indéfînimenl, vers une limite finie, déterminée, indépendante de /. mais incommensurable avec 2 — 7-.
Prenons, à partir du point M(o), un aie L du cercle méridien, égal à /, circonlérences entières, c est-à-dire à a/r-/*, et supposons
(1) 2o-t-2i + . .+ 5(v< '2A-irr < «0-1- «1+ =<2-^. . .-i- «v+i-
D'après celte inégalité, il y a, sur l'arc L, v + 2 points de P, à savoir : M(o), M^i ), ..., M^v-|- I ), et il n'y en a pas davantage.
l4(> Sl'R LES COlinBKS nKFINIKS l'AR LKS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
l'diir Ilicn ciilciulrc cc{[o proposition et pour éviter toute confusion, il iiuporle de luire la remarque suivante :
La seconde coordonnée (o d'un point M du cercle méridien cî ^ o n'est pas entièrement déterminée ; car on retrouve le même point en augmentant w d'un multiple de :>.-. Si toutefois on se donne o),,, la coordonnée w/ des conséquents successifs Ml /) sera entièrement déterminée par les écpiations
(0, = 4/(a)o), 10,= i];(to/, ).
Nous supposerons donc que nous nous sommes donné to,,, et nous pourrons regarder w,- comme complètement déterminé.
Il pourra être avantageux, dans certains cas, d'envisager non pas la coordonnée (0,- elle-même, mais une quantité congrue à w,- suivant le module 2iî et comprise entre a et a+27t(a étant la seconde coordonnée d'un certain point N du cercle méridien). Nous désignerons cette quantité par la notation (w/, a), et nous l'appellerons coordonnée du point M(/) réduite par rapport au point N.
Ainsi, dans la démonstration du théorème XX, nous avons dit que. quand on faisait croître/?, la seconde coordonnée lOpi du point M(pi) variait toujours dans le même sens, sans jamais dépasser une certaine limite. Il s'agissait, non de la quantité Mpi elle-même, telle que nous venons de la définir, mais de cette coordonnée réduite par rapport au point N(o ).
Au contraire, dans tout ce qui va suivre, il s'agira toujours, sauf avis contraire, de la coordonnée co,- elle-même.
Ainsi, quand je dis que l'arc L contient les v + 2 conséquents successifs M(o), M(i), ..., M( V -f- i), je veux dire que les coordonnées lo», w,, .... Wy^, sont comprises entre w,, et too + 2 A-.
En écrivant les inégalités (i), j'ai supposé que tous les arcs a„, a,, ..., a,étaient positifs. C'est, en effet, ce (jui arrive. .Te puis toujours supposer que
a),> (Oo,
car nous ne pouvons avoir to, = w„, sans (juoi nous aurions affaire à une trajectoire fermée, ce que nous ne supposons pas, et, si nous avions w, << (Oo- nous compterions les arcs w en sens contraire. Le deuxième principe donne alors
ou
SUR LES COURBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. ij"
Soient mainlcnaul A(oi un point quelconque coiiteuu eiilre M(o) elM(i), to|, sa coordonnée, de telle sorte que
SoiL io'i la coordonnée de son i""'^ conséquenl ?\[i). Je dis que car, si l'on avait
les deux points N(o) el N(j) seraient compris entre les points M(o ) et M(^/), et si l'on avait
les deux points M(0 et M(j4-i) seraient compris entre les points JN(o) cl N(/). Dans les deux cas, en vertu d'un leninie démontré plus haut, il y aurait un cycle limite, ce que nous ne supposons pas. De même, si nous avions
nous en déduirions
D'ailleurs, nous a\ons, jiar l'inégalité ( i ),
tuy+i < (Oo-h a/iT: < lO.;+o, et |iii]'..(pic
(Oy-HÎ < U)| -t- 2/1— <^ OJv + 3.
Si donc nous prenons, à partir du point M ( 1 i, un arc éi;al à :</.—/', c'esl-à-dire à L, il jaura sur cet are v + a points de 1', à saMiir : .M(i), Mi'i). ..., M(v + 2j.
En raisonnant de même, on verrait que, si l'on prend, à partir d'un point de P, un arc égal à L, il y aura sur cet arc / — 3 points de P.
Si maintenant mi prend un |i(mil \ sur 1 are a,,, |)uis, à partir de ce point N, un are égal à L. cet are eontieiulra eerlainenienl les points .M(i), M^2 ), .... M(v + I ), il contiendra ou ne ((inticndra pas li' pculil ^1( v -f- a ), et il ne contiendra certainement j)as Mi v + ! 1.
On raisonnerait de même si le point j\ était sur un are quelconque a,, d'où la conclusion suivante :
Le nombre des points de P situés sur un arc quelconque égal à 2kT^r est égal à V -f- I ou à V -1- a.
IjS Sin 1,ES COtliUES Dkt'lNlES l'AR tES EQUATIONS UIPI'ÉIiKnTi1:I.LE>.
Si 1 Du (lomic à /,■ une MiltMir (liUriMnile /{' , il on résultera poiii' v une valeur
(lillérenle v . .le eimsulère les deux inlei\alles eoninris, dune jtart, enire — j—
il — - — el. (laulre pari. i^Ure — p — el — -, — • .le (lis (lue ces deux inlervalles
auionl une paiiie eoiniuune. ('onsidérons, en ed'el. un ace i'f;al à ■Ak/<'~r et sur ie(|ue! il \ ail M |)(iinls de P. Il \iiMulra
ee qui (l(;monlie lu proposition énonec^e. 11 en serait encore de inèine si, au lieu de considérer seulement deux valeurs de /» et deux intervalles, nous en avions considéré trois ou plusieurs.
Ainsi, si l'un dcuiiie à /> toutes les valeurs entières positives, tous les inler-
\alles — - — ) — "j— auniul une pallie eoniniune, et, de plus, l'étendue de l'inlei-
\ aile tendra vers zéro.
Donc — - — et — -. — ^ tendront vers une limite commune. Unie et déterminée
(pie j'appelle a (').
Le nombre ij. ne peut pas ("trc eommcnsurahle.
Eu ellVl. s'il était éi;al à 3 par exemple, il faudrait (pie nous eussions
V + I = t/.- ou ■/ -t- '2 = i/i.
Soient, pour /,■ =: I , V + 1 =: a, V + a = o.
( )ii aura, pour /. > i ,
On en déduit aisément tpie l'ordre circulaire des points M(j), où l'indice i est ])osilir, est l'inverse du suivant :
|M((j), Mc^.), M(.',), . . ., ail iiif.; M(i), MC'.), . . .. ail inf.J,
ce (|ui impliipicrait rexistenee d'un ew le liuiile.
Si l'on avait, au contraire, pmir /,■ = i , v + 2 = 2, il viendrait, pour /, >> i ,
(') Pour faire concordci la niilalion avec les dcveloppemenU ilcs payes suivantes, lu nombre ;J. doit être rciiiplacé ici, cl jusc|u ;i la première formule de la paijc i'|i) (li^'ie 5) par le
nombre -• (li. G.)
SLR LKS COtiRBES dlil'lNIES tAR LES kQUAtloNS DIFFliRENTlLLI.ËS. I i')
d'où
L'ordre circidair-c strail alor> l'ordre inverse du précédent, l'I il y iiiirail encore un cycle limite.
Donc ijt est incommensurable.
On aura évideninienl
lini = pour n — «,
ce que nous avions annoncé.
Nous pouvons donc dire que l'ordre circulaire des points de P est caractérisé par un certain nondjrc inconiniensurable [j., et c'est ce résultat que nous allons l'iiirclier iiiainlcnant à énoncer d'une façon plus précise.
l'our niellrr en évidence ce l'ail (pic v est l'onction de /,", j'ti riiai v( /i i. au lieu de V. .l'envisagerai ensuite les v(A' ) -t- 2 points :
(2) M(o;, M(r), M('a), ..., M[viÂ)-^iJ,
et ciierclions dans (picl ordre circulaire ils sont placés.
11 faudra d'alioid placer M(o ), M(i), ..., M [v( 1) + 1] sur le cercle méridien ilans l'ordre tie leurs indices. Ensuite M[v(i) + a] viendra se placer entre M(o) cl !M(^i), M[v(i) + ù] entre M( 1 ) et M( 2), et ainsi de suite jus(prà M[v(2)4-i] qui viendra se placer entre M[v( 1 ) + 1] et M(o). Le point suivant M[v('2')-l- 2] sera placé entre M( o ) et M( 1 ) : il lesie à savoir s'il seraavaut M | v( 1 1 -f- :> | 'ni après ce ]H)inl. Il sera avant si
et après si
<(' (|iii sont l(^s deux seuls cas possibles.
On continuera de la sorte, et ion ne sera jamais emltarrassé pour placer un nouveau poini si l'on connaît les /, nombres
Ainsi l'ordre circulaiie des points (2) ne dépenil que de ces k nombres, c'està-dire de a, et il est le même que celui des quantités yj-i — ^i'^i)- Mais /( peut être pris aussi grand que l'on veut.
Donc l'ordre circulaire des points M(t) ne dépend que du nombre incommensurable |^, et il est le même que celui des quantités \xi — E(u/) [E(.r ) désignant, sniviinl la couliinic. le plus grand entier contenu dans ,/■].
I jo SLR LES COUIIUKS DEtlNlES PAU LES KQIATIONS DIFFÉRENTIELLES.
Il rt'Millc imnieiliatciiKiil de ce lliéorènu' (|ii eulre deux [Jinnlb tjuclcoiujiics (le I' il \ fil il une liiliiiitc d iiulio: donc, cnlrc doux [loiiils (jnelconques de P, il Y ;nir,\ t(m|i>iir.s des points de I".
Soit iN un |)oint ijueleonqne de P'. Dans le voisinage de ce point, il y anra,
par déiînition, une infiniti:' de |)oinls de P: entre deux quelconques de eeux-ei,
il y aura toujours un point de P'. Donc, dans le \oisinagc de N, il y a une inli-
nilé de jioints de P', c'est-à-dire que N appartient à P", ensemble dérive de P'.
On peut donc ciiLic
I) autre part, un tliéorcuie de la iliéoric générale des ensembles donne
d'où
Ainsi P' se eontond a\(( son dérivé; cesL donc un de ces ensembles que M. Cantor appelle parfaits.
Mais on sait que M. Canlor dislingue les ensembles parfails linéaires en d<'ux classes : ceux qui ne sont condensés dans aiH:un intervalle et ceux qui sont condensés dans certains intervalles.
Nous pouvons donc faire trois hypothèses dans l'énoncé desquelles nous reprendrons le langage oi'dinaii'e :
i" iNou> piiuxuus sujjjjoseï' luie tous les points tic la cireontérence méridienne -z. = I) apparliennenl à P'.
2° ISoiis ])ou\(ins supposer ensuite (pi il \ a Mir celle circiinlércace cerlaiiis arcs doiii iiiiis les points apparliennenl à P'. sans ipie, ccpciulaul. il eu soil i\f iiicnic de tous les points de celte circonférence.
.'>° Nous pouvons supposer enfin qu'il n'y a sur cette circonférence aucun arc cidiil tous les points apparliennent à P'.
.le xais coiuinciiccr par faire \ oir (Hie ladeiixiciiic iMpulhése doit <"'li'c rcjctce. Si 1111 la'ioplail. Cil cM'cl. nu poiiirail linincrsiir la circonlércncc un arc VB dont Ion-, le- points a|>|uiilicniiciit à 1"; mais Ici cpic, si on le prolmigi' au delà de A ou au delà de B, tous les points du |n'ol(>ii:;ciiiciil n a|)partieiiiicnl jias à P'.
Soient A, et B, les /""'" conséquents de A et B; les c'''""" conséquents <les fJifTérenls points de l'arc AB seront les difl'érenls j)oinls de l'arc A,B,-, cl ils devront évideninieul faire tous partie de 1".
•Je dis (|iic le- ilcu\ arc- AB et A,Bj ne pcincnl a\oir aïKiiiic parlu' coin-
mune; car, si A el B étaient situes sur l'arc A,B,- ou si A,- et B,- étaient situés sur l'arc AB, il y aurait un cycle limite, ce que nous ne supposons pas. Si maintenant le point A,- était situé sur l'arc AB el B,- en dehors de cet arc (ou si B,- était situé sur l'arc AB et A,- en dehors de cet arc), tous les points de l'arc BB; (ou tous ceux de l'arc AA, ) cpii forme un prolons^enient de l'arc AB au delà du point B ( on du point V) ap|iartiendraient à P'. ce cpii est coniraire à l'hypothèse faite plus haut.
Soit M(o) un point de P situé sui- l'arc AB, le point M(< ) sera sur l'arc A,B, et par conséquent en dehors de AB. Mais, comme le nombre / est quelconque, 11 n'y aurait sur l'arc AB aucun conséquent ou antécédent de M(o ), c'est-à-dire aurun point de P à l'exception de M(o). Mais, pour que tous les points de l'arc AB appartienneni à P', il faiil qu'il y ait sur cet arc une iniinité de poinN de P.
La seconde hypothèse doit donc être rejclée et il nous reste à examiner la première et la troisième.
La première hypothèse jxmiI cerlainement être réalisée; car nous aMins reconnu (prçlle l'esl en effet pai" les équations
loisque le rapport j c>\ iucomniensuiahle.
Je dis d'abord que. si tous les points (h> la circonférence apparlicuncul à P', cela sera vrai, quelle que soit la trajectoire à l'aide de laquelle on ait formé les ensembles P et P'. Considérons en effet une autre trajectoire coupant le cercle méridien en un certain nombre de points formant un ensemble Q.
Je dis que le dérivé Q' de Q se composera comme P' de tous les points de la circonférence. En effet, soient en N(o) un point quelconque de cette circonférence, N(i) son j'*"" conséquent, Q l'ensemble des points N(/). Dans le voisinage de N(o) il y a jjar hypothèse une infinité de points de P, M(/,|), M(A-0, ...,M(A-„').
Lorsque n croît indéfiniment, l'expression \J.k,i — E(u.A"„) tend vers une certaine limite /*. Cette limite caractérise la position du point N(o ) sur la circonférence.
Je veux dire que les trois points M(y), M(A) et N(o) se présenteront dans le même ordre circulaire que les trois nombres, <^j — E(jj.y). 'j.k — EiuA) et II. quels que soient les indices y et k.
l'yji SI II Li:s i:oiniii:s ma iMiis par i.ks équations i)ib'i'KUENTiKi,i,i;s.
On M'rrail aiséiiic\il i|ur la |)cisili(iii (If lS[i) est caraclénséc de la m<~iiii' (•arou par le nombre /( -|- [xi -- E(/( + [J-i], el l'on en conclurait ([iie sur loul arc ii(> la circoniérence il v a nue infinité tic points de Q, ce (|ui re\ leiil à ilire (jue tous les points de la circonférence appartiennent à Q'.
Vu point tpiclconque de la circonférence est caractérisé, comme on \ienl de le \()ir, par un certain nombre /;. Ce nombre A se réduit à ui — E( i/.i). IdiMMi'il s'agit tl'un point M(/) appartenant à Pet a\ant |miiii' ccHirdcjnnée lo,. Il M' ivduil à zéro poui' le ]»unt M{o) ibinl la coordonnée est (o,,. De plus, lors(pu' (.),■ \arie de lo,, à (o,, + :>-, h va constamment en croissant depuis zéro jusipià I. Cela résulte de ce (pie les points de la circonférence se succèdent dans le même ordre circulaire que leurs nombres caractéristicpies.
Donc A est une fonction croissante de w, entre les limites d),, et io„ + i^t:; on peut ddiic écrire, en série trif;onométri(pie convergente,
iT.li = SA,,, cos«î to -t- i^ B„, sin m w ou bun
(•a) 2-:t/i — (D = S.\',„ coswiii) + -B'„, sin/?)(o = 0((o).
La fonction Hi'^'i) représentée jiar la série (2) sera une fonction continue et |)éiio(!i(pie de w. La loi de consécpienee pourra alors s'écrire
(0, H- 0(CO, ) = (O0+ 6((0o) -^ 2T.IX.
Soit lin point ,N(i)) du cercle méridien ayant jtoiir nombre caractéristi(pie Ir, construisons la trajectoire (pu jiasse par ]N(o) et prolonf;eons-la jusqu'à ce quelle reiudiitie de nom eau en IN ( i ) le cercle méridien. Si nous attachons à chacun des points de cet arc de trajectoire N(o), N(i) [à l'exceplion du point î\(i)], le nombre caractéristique h, tous les points fJu tore auront un nombre caractéristique et un seid. L'expression
■i.7:/i — (0 + fjia
sera une fonction continue et périodupie de d) et de 'j, exprimable par une série Irijjonoméirique de la forme --iiivante :
(3) Ml 11), œ; — 1 A,„„ cos(7n(i) -t- nç -i- ),,„„).
L'intégrale générale des é(piations proposées s'écrira alors
01 = [la + H (lu, o) + consl.
On est donc certain dasance ipie cette intéi;rale générale |)eul s'exprimer à
SUR LES COURBES DEFINIES PAR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. l53
l'aide d'une série trigonométrique, mais nous n'avons aucune méthode pour
calculer les coefficients de cette série.
Dans le cas qui nous occupe
pour toutes les trajectoires et l'on ne peut tracer sur le tore de région si petite qu'elle ne soit traversée une infinité de fois par toutes les trajectoires.
Venons maintenant à la troisième hypothèse, ce qui revient à supposer, comme on le verra, que D(P, P') = P pour certaines trajectoires, et que D(P, P') ^ G pour d'autres.
Imaginons donc que P' forme un ensemble parfait qui n'est condensé dans aucun intervalle ou, pour parler le langage ordinaire, que l'on ne puisse trouver sur la circonférence aucun arc dont tous les points appartiennent à P'. Comme P' est un ensemble parfait, on jKiurra certainement trouver sur la circonférence un arc A(o)B(o) dont les extrémités appartiennent à P', et dont aucun autre point n'appartient à P' (c/. Cantor, Acta mallieinaiica, t. I\^, fasc. 4)-
Il arrivera alors que tous les arcs A(/)B(/) jouiront de la même propriété; d'où il résultera que deux arcs A(<)B(/) et A(A')B(A-) n'auront aucune partie commune.
Cantor a démontré que, si l'on a sur une circonférence, par exemple, un ensemble parfait de points qui n'est condensé dans aucun intervalle {^loc. cit. ), les points de la circonférence se partagei'ont en trois catégories :
1° Les points de certains arcs dont aucun point n'appartient à l'ensemble;
2° Les extrémités de ces arcs qui appartiennent évidemment à l'ensemble ;
3" Enfin les points de l'ensemble cjiii ne sont pas les extrémités de pareils arcs.
Dans le cas qui nous occupe, les arcs dont les points sont en dehors de l'ensemble sont les arcs A(/) B(i), les extrémités de ces arcs seront les points A(/) et B(/) eux-mêmes; enfin les autres points de l'ensemble P' s'obtiendront en cherchant les points dans le voisinage desquels il y a une infinité de points A(«) et B(«).
Il y aura donc aussi trois espèces de trajectoires :
j" Je citerai en premier lieu les deux trajectoires qui passent, l'une par le point A(o), l'autre par B(q) et que j'appellerai les deux trajectoires A et B. Pour ces deux trajectoires, on a évidemment
li4 SUR LES COURBES DÉFINIES PAR LES ÉOUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
a" Viennenl ensuite les linjecloiros inii ronconlient un des arcs A(/)B(»)el qui |);ir conséijuéiil l<'s irnccinlrcnl Ions. Si ]<■ poinl C(i)) d'une de ces trajectoires est sur Tare A((> ) B(^u~), scm /"'""' consétjuent C{i) sera sur Tare A(/) B(/). Dans le voi>inai;c dim |)(imt (|uele()n(nie de I", il v a une inlinlté de points A (/) et B(i), il V aura donc aussi une infinité de points C(/). Si donc Q désigne l'ensemble des points C(/) et Q' son dérivé, on aura
Il est clair d'ailleurs ([ue
3° Il V a enlin do trajt cloires ([m passent |)ai' les points de la troisième catégorie et cpii. par conséquent, ne lencontrent aucun des arcs A(/)B(r). Pour ces trajectoires, l'ensemble V est encore le même et l'on a d'ailleurs
Ainsi l'ensemble P' est le même pour toutes lis trajectoires, et l'on a
D(l', F'}= P ou o,
sui\aiit la trajectoire considérée.
Les arcs A(?)B(/) se succèdent dans le même ordie circulaire que les
nondjies ^i — E( u./ ).
Les liiriiiulrs
w,-h 0(10, ) = Wo-(- 8(toi,) -h 2-;j.,
tu = cjio -(- ll(to, tp ) -I- const.,
OÙ h{u)) et H(co, ',sj désignent des séries Irigonométriques représentant des fonctions continues et périodiques, subsistent encore ici, mais elles n'ont plus la même poitée. En ellel, la ((Uicllou (o -)- ^i ( ''J ) reste constante tout le long de l'arc A(^<)B( /), et l'on trouvciall de inriiie sur Ir Imc des régions où la fonction H(w, 0)4- ,as — w conserve une valeur constante.
Il resterait à voir si cette troisième hypothèse, dont nous venons de développer quelques conséquences, peut se réaliser, ou, en d'autres termes, si elle est compatible avec les trois principes (pic nous avons énoncés plus haut au sujet de la loi de conséquence,
et avec la forme particulière des éijuations ditlérenticdles considérées.
Je jjuis affirmer qu'elle est com|)atible avec les deux premiers principes, en \erlu desquels la fonction 'i est continue et croissante.
SUR LES COURBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l55
Est-elle également coiiipallhle avec le troisième principe, en vertu duquel la fonction 'h est holoniorphe ? C'est ce cpii resterait à examiner.
Il faudrait, ou bien trouver un exemple où la troisième hypothèse soit réalisée, ce que je n'ai pu faire jusqu'ici, ou bien en démontrer limpossibilité dans tous les cas.
Je n'ai |iu non plus arriver à ce résultat, et je crois, d'ailleurs, cpie 1 hypothèse est efTectivenient réalisable, mais il y a des cas particuliers où l'on peut démontrer cpi'il n'en est pas ainsi et cpi'on iloit s'en tenir à la première lijpothèse.
Soient C(o) un point th; la circonférence méridienne, C( i ), C(:i), ..., C{i) ses j'*""' premiers conséquents; on s'arrêtera lorsqu'on arrivera à un(t -f- i)'*"" conséquent situé sur l'arc A(o) Ad ). Soicnl niainienant INI,, et «/„, M , et /?? i , ..., M,i et /n/-.|, M, et /;/, la plus grande et la plus pclllr valeur cpie peut prendre
la dérivée -j—!-> respectivement sur l'ai'c C( f)) C( i), sur l'arc C( i ) C( 2 ), ..., sur l'arc C(«' — I ) C(/) et enfin sur l'arc C(/) C( o). Si
MoMiMî...M,iM,< I et MoM, M2 . . . M,., < 1 ou bien encore si
mo'«i "'2 • • ■ '"(-I "!i > I et //!o«h "'2 • ■ • '"i-i > ',
on est certain ipie la troisième hypothèse doit être rejetée.
Par le même procédé on peut trouver, dans tous les cas, la limite supérieure de l'un quelconc[ue des ares A(/)B(j), définis plus haut. Si M est le maximum
et m le mininuiin de la dérivée -j-^i tous les arcs A( i)B{i) sont plus petits que
On peut faire encore une remarque; prenons le point A((i) et la trajectoire A qui passe par ce point. Soient C(o^ cl D(oj deux points très voisins de A(o), mais situés l'un à droite et l'autre à gauche de ce point; soient C et D les trajectoires cjui passent par ces points. Nous pouvons imaginer trois points mobiles <?, c, d décrivant ces trois trajectoires simultanément, de façon à se trouver toujours tous les trois sur le même cercle méridien. Lorsque le temps croîtra, il arrivera alors que la distance ac tendra vers zéro, et que la distance
l5fi SDB LES COURBES DÉFINIES PAR LES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
ad ne tendra pas vers zéro, et cela, quelque voisins que soient de A(o) les points C(o^ et D(o). Dans la picnilère hypothèse, au contraire, il est impossible que la ilislance de deux points mobiles « et c décrivant deux trajectoires difTérentes tende vers zéro. Je ne doute pas qu'on ne puisse se servir utilement de cette remarque, bien que je n'en aie pu moi-même tirer aucun parti.
Toutes ces considérations n'ont pu encore me conduire à la solution de la question principale et ne m'ont pas permis de démontrer rigoureusement que la troisième hypothèse peut effectivement être réalisée.
Bien d'autres questions se posent d'ailleurs, qui sont intimement liées avec la précédente. C'est ainsi qu'on peut se demander comment varie le nombre caractéristique [a, défini plus haut, quand on fait varier les coefficients des équations différentielles. On peut démontrer que cette variation est continue. Mais nous pouvons supposer que, pour certaines valeurs de ces coefficients, il y ait un cycle limite; le nombre [j. i)eut être alors regardé comme commensuralile. Si, pour d'autres valeurs des coefficients, le nombre [j. est incommensurable (ou commensurable sans qu'il y ait de cycle limite) et si l'on fait varier ces coefficients dune manière continue et de façon à passer par les valeurs qui donnent un cycle limite, le nombre ^ présentera toujours, pour ces valeurs, soit un maximum, soit un iiiininuiin. 11 y a là certainement le jniint de départ d'une série d'études qui seront sans doute fécondes, et que je crois devoir signaler aux travailleurs.
.l'espère, d'ailleurs, pouvoir, dans un Chapitre ultérieur de ce Mémoire, donner sur ces questions des résultats plus complets. J'y reviendrai, en effet, après avoir posé, dans la suite de ce travail, une série de problèmes, fort analogies au précédent, mais plus délicats encore, et qui sont liés intimement avec l'importante question de la convergence des séries trigonométriques et, en particulier, des séries employées en Mécanique céleste.
Avant de terminer, je voudrais montrer, en quelques mots, en quoi consiste le lien que je viens de signaler entre le problème qui vient de nous occuper et les méthodes de la Mécanique céleste.
Nous avons vu que l'intégrale générale des équations proposées pouvait se
mettre sous la forme
o) — [JUS — H (d), !p) = consl.,
H étant une série trigonomélrique. Supposons que natre équation différentielle
SUR LES COl'RBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. iSj
s'écrive
[Ad est une constante, a un coefficient très petit et F un polynôme en cosio, sinto, coso, sintp, ou plutôt encore une série trigonométrique
11 viendra
F = 2 A,„„ cos(mco H- ntp -H ).„,„).
Supposons que [a et H [missent se développer suivant les puissances de a, de telle sorte que
Il viendra
|Jl = |JlO + I-tl X + |JL2 ï' + . . . ,
H = 11,2 + Haa^-H Hja'-i-...
dli, dH, rfH,„
ao) rtcp rfdi
On choisira les constantes [x,, jjlj, jj.3, ... de fa(;on que les seconds membres des égalités précédentes soient des séries trigonométriques débarrassées de leur terme tout connu. Il sera alors possible (si [A,, est incommensurable) de trouver des séries trigonométriques Hi, H^, ... satisfaisant /b/7/«e//e/»e/!/ aux équations précédentes.
Il est impossible de n'être pas frappé de l'analogie de ce procédé d'approximation avec la méthode de M. Lindstedl en Mécanique céleste, et de ne pas comprendre que la question de la convergence du procédé que je viens d'exposer est intimement liée à celle de la convergence des séries employées par le savant astronome de Dorpat. Mais le problème que nous traitons ici est évidemment beaucoup plus simple que les questions analogues de la Mécanique céleste, et, si les difficultés sont de même nature, elles sont moins nombreuses et sans doute plus aisées à surmonter. C'est cette considération qui m'a engagé à insister sur la question qui a fait l'objet de ce Chapitre, et qui m'y fera sans doute revenir à mesure que je trouverai des résultats nouveaux.
l58 SIR LES COURBES DKFINIES PAR I.KS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
Dans la qiiatririnr Partie <lr ce travail, j'aborderai rétiide des équations diffcrentii'llo du second ordre. .l'aiiandonne donc momentanément les équations du premier ordre, en me rései'\ant de revenir dans la suite sur les problèmes relatifs à ces équations et restés encore sans solution, en les rapprochant des problèmes analogues fpii se poseront au sujet des équations d'ordre supérieur.
Paris, kS janvier i885.
