ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 94, p. 4'''-4'8 ( i3 février i88a).

J'envisage deux équations différentielles simultanées

dy dz

OÙ X, Y, Z sont des polynômes entiers en x, y, z. Si je regarde x, y, z comme les coordonnées d'un point dans l'espace, ces deux équations définissent une infinité de courbes gauches que j'appelle Cdraclrrislir/ucs.

Par chaque point de l'espace passe une caracléristic|U(! cl une seule. Les seuls points qui ne satisfont pas à cette règle sont les /loirits sinv^utiers, c'esl-à-dire les points d'intersection des trois surfaces

En général, ces trois surfaces ne se couperont pas suivant une courbe, et les points singuliers seront isolés. Pour les classer, on envisagera l'équation en S

Nous supposerons que cette équation n'a pas de racine multiple ni de racine nulle, ce qui arrivera en général. Il y aura alors quatre sortes de points singuliers :

^ty

l6o SUR LES POINTS SINGLLIEItS DKS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

i" Les luvuds. L'ccjualiim (3) a loules ses racines réelles el de même signe. Toutes les earaclérisliques qui pénèlrenl dans une |>elitc sphère décrite autour du point siiij;uliei' viennent converger en ce point : exemple, l'équation

(/.r dy clz x " y '~ z '

dont l'intégrale générale s'écrit

-=-•?' = abc

a, b, c étant les constantes d'intégration.

2" Les cols. L'équation (3) a loules ses racines réelles, mais non de même signe. Une inlinilé de caractéristiques, dont l'ensemble forme une surface, viennent converger au point singulier; en dehors de celte surface, il existe encore une autre caractéristique qui vient passer par le point singulier; les autres restent constamment à une distance finie de ce point : exemple, l'équation

dx dy dz X ~ y " —z'

dont l'intégrale générale s'écrit

a b cz

Une infinité de caractéristiques,

situées toutes sur la surface s^o, viennent passer par l'origine. 11 en est de

même de la caractéristique

Les autres restent à une distance finie de l'origine.

3° Les foyers. L'équation (3) a une racine réelle et deux racines imaginaires conjuguées, dont la somme est de même signe que la racine réelle. Une caractéristique, et une seule, passe par le foyer; les autres tournent autour de ce foyer, en s'en rapprochant asymplotiquement, en forme de spirales et de tirebouchons.

4" F^es cols-foyers. L'équation (3) a une racine réelle et deux racines imaginaires conjuguées, dont la somme n'est pas de même signe que la racine réelle. Une caractéristique, et une seule, passe par le point singulier; une inii-

SUR LES POINTS SINGILIF.HS DES KQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l6l

nité d'autres, dont l'ensemble forme une surface, tournent autour de ce point en s'en rapprochant asjmptotiqueraent ; les autres restent à une distance finie de ce point.

Un cas particulier intéressant est celui où les trois surfaces (2) se coupent suivant une même courbe, qui est alors une ligne singulière.

Considérons un point de cette ligne singulière. En ce point, l'équation (3) a une racine nulle. H J a toujours une caractéristique qui passe par le point singulier, et c'est la ligne singulière elle-même.

Les points d'une ligne singulière sont d'ailleurs de trois sortes :

1° Les na'uds. L'équation (3) a une racine nulle et deux racines réelles et de même signe. Dans le voisinage de ces points, une infinité de caractéristiques, dont l'ensemble forme une surface, viennent converger en chaque point de la ligne singulière.

2° Les cols. L'équation (,3) aune racine nulle et deux racines réelles et de signe contraire. Par chaque point de la ligne singulière passent deux caractéristiques (outre la ligne singulière elle-même) ; les autres restent à distance finie de cette ligne.

3" V^es foyers. L'équation (3) a une racine nulle elles deux autres imaginaires conjuguées. Toutes les caractéristiques se rapprochent alors asjmptotiqnement de la ligne singulière.

On trouverait des singularités d'ordre plus élevé aux points qui séparent les arcs de la ligne singulière, dont tous les points sont des nœuds, des arcs dont tous les points sont des cols et de ceux dont tous les points sont des foyers.