PAR LES SÉRIES

Comptes rentius de l'Académie des Sciences, l. 9i, p. 5-j--5^8 (27 février 18S2)

i^aiichy a démontré depuis longtemps que, si l'on a un ensemble d'équations dififérentielles simultanées telles que

les intégrales peuvent se développer en séries convergentes ordonnées suivant les puissances de x^Xg, Xg étant la valeur initiale de la variable .r. Malheureusement ces séries ne restent convergentes que pour les petites valeurs de X — Xq] aussi, dans la plupart des applications, dans le calcul des perturbations, par exemple, leur a-t-on préféré d'autres séries et en particulier des séries trigonomé triques.

J'ai pensé qu'il y aurait quelque intérêt à rechercher si l'on ne peut pas intégrer les équations difïérentielles par des séries qui restent convergentes pour toutes les valeurs réelle.'; de la variable. Voici comment on peut procéder. On peut ramener un système quelconque de relations algébriques entre un nombre égal de fonctions d'une seule variable indépendante et les dérivées de ces fonctions à la forme suivante :

II) ^^~ ~ "y" "•••" ~\^ '

A| Ai An

où X,, X2, . . ., X„ sont des polynômes entiers en x^, Xn, • • • , x,,. J'introduis

SUR b'iNTÉGBATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLKS PAR LES SÉRIES. l63

une variable auxiliaire s définie par l'équation différentielle rfa-, dTo dxn ds

X, X, ■■• x„ X]-HX^ + ...-t-x;',-t-i

Je démontre qu'on peut toujours trouver un nombre a tel que a;,, x,, . . ., x,, puissent s'exprimer par des séries ordonnées suivant les puissances de

et convergentes pour toutes les valeurs réelles de s. Les coefficients sont des fonctions rationnelles de y., des coefficients des polynômes X et des valeurs initiales des variables.

Celte formule permet de calculer ^r,, :p.,,..., ar,,, tant que ces quantités restent réelles et ne prennent pas des valeurs qui annulent à la fols X.,, Xj, . . . , X„. Si, par exemple, on voulait l'appliquer aux équations de la Mécanique'céleste, les séries resteraient convergentes pour toutes les valeurs réelles du temps.

Je n'ai voulu donner qu'un exemple, montrant qu'il était possible d'intégrer une équation diflerentielle quelconque par des séries toujours convergentes pour des valeurs réelles de la variable; mais ce [problème comporte une inlinité de solutions, et dans chaque cas particulier il y aurait lieu de rechercher quelle serait la plus avantageuse.