SUR

LES SÉRIES TRIGONOMÉTIUQUES

Comptes leiidus de l'Académie des Sciences, t. 101, p. ii3i-ii34 (7 décembre iS85).

Les séries de la forme siiivanle

SA siiia/

qui sont convergentes sans l'être uniformément présentent un certain intérêt, parce qu'on en rencontre d'analogues dans la Mécanique céleste. Dans une Communication que j'ai eu l'honneur de faire à l'Académie le 3o octobre 1882, j'ai montré qu'une fonction définie par une pareille série peut devenir plus grande que toute quantité donnée. Mais on peut se demander si elle c tend vers l'infini » (c'est-à-dire si, après être devenue plus grande qu'une quantité donnée, elle reste plus grande que cette quantité), ou bien si sa valeur subit des oscillations d'amplitude indéfiniment croissante. Dans ce dernier cas, quelque grand que soit <„, on peut toujours trouver une valeur de / J> <o et telle que la fonction ait la valeur que l'on veut.

Je vais montrer par deux exemples que les deux cas peuvent se présenter. Soit

F(;) = sln< -I- A siii h A^i siii -- + , . . -1- A" siii —

Cette série sera absolument convergente si A <^ 2 ; mais la convergence ne sera pdb uniforme si A >• 1 . On a alors

V(>.i) = \ Vit) -+- »'\i\it, d'où

SUR LES SÉitlES TRIGONOMÉTRIQUES. l65

Observons mainlenanl que, si l'on suppose t >o,

d'où

5111/ > / — — , su:

Prenons ensuite

«„<^, d'où /„^^=B>o;

si /y <^ / "< 2 ^Oî «Jn aura, en verlu de rinégalité (2),

Soit 5 une quantité positive plus grande que i. Faisons

A satisfera bien aux conditions

L'inégalité [2) donne alors

F(0> ^;^ -1-/' (<o<«<2/„); puis l'inégalité (1) donnera

F(<) > -H A" A (2''/„< / < 2"+Wo).

On voit ainsi que la fonction F(t) reste toujours positive et « tend vers l'infini ». Prenons maintenant

F(/) = 5in/ — A si 11 — H A'siii . . . -1- (— A )" siii — ±. . . ,

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de sorte que

\'i2t) = — A F(0-t- siii .'.«,

d'où

— AF(0 — i<F(20<— AFir)-(-i.

Si A est compris entre i el 2, la série sera convergente sans l'être uniformément. On pourra donc trouver une valeur de t, telle que F(') soit aussi grand que Ion veut, en valeur absolue. On est donc certain que F(/) peut devenir ou bien positif et très grand, ou bien négatif et très grand.

Dans le premier cas, on pourra écrire

h étant positif et aussi grand qu'on le veut. On aura alors

F(îO<--5-^ A/(,

el F(2<) sera négatif et très grand.

Dans le second cas, on pourra écrire

F(0<-^1, -A, /( étant positif et très grand, et il viendra

de sorte que F(2/) sera positif et très grand.

On est donc certain que F( <j peut devenir successivement positif et très grand, et négatif et très grand; par conséquent, la valeur de cette fonction ira constamment en oscillant, et l'amplitude des oscillations croîtra au delà de toute limite. En d'autres termes, F(^) prend une infinité de fois toutes les valeurs possibles.