ÉQUATIONS DU SECOND ORDRE; POINTS SINGULIERS

Nous allons aborder niaiiitenant rtlinlc des équations diirérenlielles d'ordre supérieur. ^ oici sous quelle forme nous les écrirons : soient x, y cl z les coordonnées d'un point mobile dans l'espace, et t une variable auxiliaire que nous regarderons comme représentant le temps; nous écrirons

dx dy dz

X, Y et Z seront des polynômes entiers en x^ y et z. 11 est clair, en effet, que toute équation flu second ordre et du premier dej^ré peut être ramenée facilement à celte foruie.

De même, toute équation du (« — ly-mo g^dre et du premier degré pourra être mise sous la forme

dxi dx, rf.r„

(2) W=^" -dT^^'' ■■■• ^-^'"

X|, Xii, ..., X„ étant des polynômes entiers en x,, x^, ..., x„- Si l'on a

affaire à une équation du (« — jy''"'!- ordre et de degré supérieur, on pourra

écrire

dxi dx, dxn Y

1^=^" ^'-^^' • ■' ~dT -^"^

l68 Sl'R LES COURBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

X|, X^ \„ élanl (lo jiolvnomcs entiers en x,, Xn, . . ., x„ el :; et z étant

une fonction de .r,, x,, . . . , x„ liée à ces variables par une relation algébrique

F{X,, Xt, T„, s) = o,

dont le iircniiiM- nieml)re est un polynoiiu' entier.

Inlnuluisons une nouvelle variable t, nous pourrons écrire

</,r, rfF rf^ -^'rf^'

dxi ^. rfF d^-^'dz'

dXn Y rfF ■rfr -^"rf^

.. dF ^. rfF

.. rfF

^'rfx, ^'rfr, •

■ ^"rf^/

Les seconds niciiibresde ces nouvelles é(jiiatit)ns étant des polynômes entiers par rapport aux x et à z, les équations sont ramenées à la forme (2); seulement l'ordre en est élevé d'une unité.

Si l'on veut, dans le cas des équations (2), employer le mode de représentation géométrique ilont nous avons fait usage jusqu'ici, il faut regarder .r,, X21 . . ., Xn comme les coordonnées d'un point dans l'espace à n dimensions.

La Géométrie n'est plus alors qu'un langage qui peut être plus ou moins avantageux, ce n'est plus une représentation parlant aux sens. Nous pourrons néanmoins être conduits à employer quelquefois ce langage.

Au contraire, dans le cas des équations du second ordre de la forme (1), qui est celui que nous étudierons plus particulièrement, la représentation géométrique conserve tous ses avantages, et nous continuerons à l'employer constamment.

Il arrivera aussi quelquefois qu'au lieu de considérer les trajectoires du point mobile (•2',J)', z) dans l'espace tout entier, nous aurons à considérer seulement les portions de ces trajectoires qui sont comprises dans une certaine région de l'espace; nous n'aurons plus besoin alors de supposer que les fonctions X, Y et Zsont des polynômes entiers, mais seulement qu'elles se com|)ortenl comme des polynômes entiers à l'intérieur de la région considérée.

Il est aisé de voir que |)ar tout point de l'espace passe une trajectoire et une

seule. Il III' peut y avoir d'exception que pour les points où les trois fonctions

X, Y et Z s'annulent et que l'on appelle points sinn-nlirrs.

Les trois équations

représenl('nl trois surfaces algébri(|iies. Il peut 6C faire que ces trois surfaces aillent passer par une même courbe. Tous les points de cette courbe sont alors

singuliers et l'on a alors une courbe singuU<':re. Nous reviendrons jiliis loin sur ce cas iniporlant.

Ne considérons jmur li- iiiomenl que les points singuliers isolés. Deux cas peuvenl se jirésenler :

„ ^. , . . , , . . rfX f/X d\ ci\ d\ d\ d'L dZ dZ

1 Uu bien toutes les dérivées -;—>-;—) —r- \ -r- • -r- > — ;- ; -7- ' -r- > -;- ne sont

dx dy dz dx dj dz dx dy dz

pas nulles à la fois : c'est le cas que nous allons étudier en détail;

2° Ou bien ces neuf dérivées sont nulles à la fois. Ce cas se ramène au précédent par les procédés de Biioi ei Bou(juet [Journal de VEcole Poly/ecltni(jue, XXXVl' Cahier).

.Supposons donc (pic les neuf dérivées ne soient pas nulles à la lois cl fui niiuis ré(piali(Ui en .S :

di-'

dy--"

Cette équation n'aura pas de racine nulle, ni de racine miilliple si les polynômes \, \ et Z sont les plus généraux de leurs degrés. Je ne dirai rien du cas particulier où lécpialion en S aurait des racines nulles ou miilti|)les; p' me boinerai à iinvojer à ce (pie j'ai dit de cas aiialoi;iies dans la première Partie de ce Iravail ('.H'' série, I. \'ll, p. .'Jgi) (').

Ce cas exceplidiuicl èlaiil exclu, nous avons à examiner les ciiui liypollièses suivantes :

Preitiière hypolkèse. — Les trois racines de l'èqualion en S soni réelles et de même signe. [On peut les supposer j)ositives.]

Dans ce cas, les inlègrales générales des éqiialions ( 1) |)euvenl se m< lUesoes la forme suivante :

Il'i' H?.' llï;'

Dans ces relations. II,, llj et If;) sont des fondions de .r, )' et 0, holoinorphes dans le voisinage du point singulier et s'anniilanl en ce jjoint singulier; S,, S^ et S3 sont les racines de l'éipialion (3); A,, A^ et A3 sont des constantes d'in-

(') Voir eu Toiiir, p. iS.