II. V. — l

170 Sl'n I.liS COURBES nKFlNIES PAR LKS KOUATION'S DlFl'KRENTIELI.KS.

tégration. Ce lliéorènie a été diJmonlrc (lan> ma Thèse iiiaiii;ui'ale (^ Paris, Gautliier-Villars, i8-i|, p. ro).

11 esl aisé de voir (jue le> é(|UMlions (4) rcpréscnlenl une liitinilé de eourbcs qui vont loules passer |)ar le poini singulier.

Done, dans le eas qui nous oecupe, loules les Irajecloires (pii passeni dans le voisinage du point singulier vont converger en ce point. On dit alors qiu^ le pcunl singulier est un iKciid.

Dcuxicinc liypulkèsc. — Les trois laeiues de r(''(|uation en S sont réelles, mais non de même signe.

Supposons, par exemple, que S| et S2 soient positifs et S3 négatif.

On ne pourra pas alors, en général, mettre les intégrales des équations (1) sous la forme (4)-

Mais le théorème de Briot et Bouquet, dans le Mémoire cité plus haut, nous ap|)rend qu'il existe trois intégrales partienlièi'cs des équations (1), qui ctnt la

forme sui\anle :

'^1, ^2 el cB:i étant des fonctions holomorphes d'une mèuie variable ti . ipii s'annulent avec cette variable si le point singulier est pris pour origine.

Le théorème n'est pas tout à fait présenté sous cette forme par Briot et Bouquet; mais il est aisé de passer de l'énoncé de ces deux géomètres à celui qui précède.

Dans le eas qui nous oeeiipe, ces trois intégrales son! réelles; nous sommes done certains déjà que tiois Irajecloires, (pie j'appellerai T,, T^ et T;,. vcnil passer par le point singulier.

Pour pousser plus loin celle analyse, faisons un changenu^nt linéaire de variables, ou un changement de coordonnées, en prenant pour origine le point singulier cl pour axes les tangentes aux trois trajectoires T|, T^ et T;|. Après ce changement de coordonnées, les équations (i) conservenml la même forme, elles racines de l'équation en S ne changeront pas. Seuleineut les termes du prniiirr degré de \, ^ et Z se léduiionl lespi'Clivemenl à

S|.r, Sjk, s., c.

(>ela posé, je di^ rpic 1 éipmlKm aii\ dépixées pailielles

X '^f + Y ^ = Z r/.c (ly

admettia une iiitéi;iali: ImiIumiiu plie s aniiulaiil avec ./ et )'.

SUR LES COUUBES DEFIMES PAU LES liyl ATIONS DIFFÉHENTIELLES. I7I

Il exisli' en effet une série ordonnée suivant les puissances croissantes de .r et de )' cl qui satisfait formellement à celle équation. Pour former les coefficients de celte série, posons

et nous chercherons s'il existe une série

cpii satisfasse à l'équation proposée, que nous écrinuis

dx •' dy dx dy

Le coellicienl a,„„ de ./"')", dans la série cherchée, nous sera dnuué par r<''quation

|3 étant un ensemble de termes dé[)endanl des coefficients de X', \', / ainsi (pie des coefficients a^yoù/^ et q sont inférieurs à »i et à n. (L'un des indices /j ou q peut toutefois être égal à l'indice correspondant m ou n\ mais on ne peut pas avoir à la fois p ::= m, q ^ n.)

11 reste à démontrer que la série ainsi obtenue est convergenic. Il n'y aurait pas de diflicullé si S3 était positif comme S| et So. Dans ce cas en effet, on u'awrail qu'à renvoyer au théorème de ma Thèse inaugurale, que j'ai déjà cité plu'^ iiaul .

iMaLs ici Sj est négatif, cl il faut se servir d'une équation auxiliaire

{3 ÙIS) S,37 -j hSaVj i.3 3=\'-j h \ -j hZ.

dx dy dx dy

Dans celle équation, S3 est uni' quantilé positive plus petite que S, et que S^; \", \", Z" sont des polynômes cjue l'on obtient en renqjlaç.anl dans \', Y' et Z' chaque terme par sa valeur absolue.

Il existera alors une série

qui satisfera forniellenienl à 1 équation ( 5 />/.v), cl celte série sera convergente, puisque ili est positif.

Le coefficient a',„„ se déduira de l'cipialion

(rnSi -h /1S2— S3)7.„,„= P', |j' étant formé avec les coefficients de X", \", Z" et avec les a' comme (3 est

17' SIR I,i:S COURBES DliPIMKS l'Ail l.liS |:(,>11A I ID.NS 1)1 FhKIlKM IHM.HS.

fornu' avec k\s cuclticienls de X', \'. Z,' eL uvcc les a,,,^. Tous les a^„„ sont positifs. En effet., si cela est vrai de tous les a' y, (3' sera positif, puisque les coeflicienls de X", \ ", Z" sont positifs.

D'ailleurs »i S, -)- /; S^ — i^^ est toujours positif.

,1e dis maintenant (jue

*-mn 1 --^ ^nuf

En elfel, si cela est vrai pour les indices inférieurs à m el a ii, on aura

On a d'ailleurs

/hSj -I- nS2 — S3> mii-\- nSi — S.,,

puisque S., est positif cl S:i négatif. Il vient donc

ce qui |)ioiive que la série

est convergente.

Ainsi l'équation ( 5 ) admet liicii une intégrale lioloinorplic comme |c l'avais annoncé. Dans le langage géomi'lriqiie, cela veut direcpie parle point singulier passe une surface U sur laquelle sont situées une inlinilé de trajectoires. Les trajectoires T, et Tj sont situées sur cette surface, mais il nenlSsl pas de même <lc T:,.

Si l'on remplace, dans les équations (i), j par la série Sa,,,,,./'" )", ces c(|ualions prennent la forme

\ et ^ étant (les [onctions lioiomorplies de x el de y s'aiinulant avec ces varialiles. l-,es termes iln |>rcmier degré se ré<luiseiil respectivement à S|.r et àS,j.

On est donc ramené au cas des équations du premier ordre, où l'on n'avait (pic deux variables, x et )', représentant les coordonnées d'un point dans un plan. Les courlics définies par les équations (()) seront les |irojections des trajectoires situées sur la surface L) ; il est aisé de vérifier ipic, pour ces courbes planes, le jioint singulier est un nceiid, d'(u'i la <iinclusion suivante :

Toutes les Irajerloires situées sur la surface (J vont se croiser <iu point singulier.

On peut d'ailleurs vérifier aisément que les autres trajectoires ne vont pas

Sin LES COIHBES DKFINIb'S PAU l.KS KOIATIONS IIIKKRRKN HHL[,l;S. lyî

passer par le point singulier; mais qu'après s'être approchées plus ou moins de ce point, elles s'en éloignent et sortent de son domaine.

Ainsi une infinité de trajectoires dont l'ensemble forme une surface, ainsi qu'une autre trajectoire isolée, viennent passer par le point singulier; toutes les autres restent à une distance finie de ce point.

Le point singulier s'appellera alors un col.

Troisième hypothèse. — L'équation (3) a une racine réelle et deux racines imaginaires conjuguées dont la somme est de même signe que la racine réelle.

Soient

Si = a — [îj, S;, = a — (3t et S3

ces trois racines. L'intégrale générale des éfpiations (i) pourra s'écrire, comme dans la première hypothèse,

on s

pourrons

poser

(1 ailleurs

K et K étant des fonctions linlniiKirplies /relies de .r, y ^^ -• Considérons l'équation générale

(7) K2-I- K«-)- H-:; = const.

Cette équation représente une infinité de surfaces s'eu\ eli)p|)ant muluellemeut et enveloppant le point singulier.

Il est aisé de vérifier qu'aucune des trajectoires ne peut couper aucune de ces surfaces (ju'en un seul point, si la constante du second mcmhre est suffisamment petite. En effet, les équations d'une trajectoire quelconque peuvent s'écrire

K — iw = {C — iU}n'{~''\

G, D, Y et 0 étant quatre constantes réelles. (Remarquons (jue, pour une même trajectoire, H.i devra toujours conserver le même signe.) Les surfaces (7) sont donc des surfaces sans contact, analogues aux cycles sans contact étudiés dans les Parties précédentes.

Une trajectoire, une fois qu'elle aura pénétré à l'intérieur d'une des surfaces (7), ira toujours en se rapprochant du point singulier; mais elle ne

174 '^l 11 >ES COtRHKS DKKINIKS IVXn r.KS KyiAIIONS 111 KKI'IIIATIKI.I.KS.

iioiirta s'en rapprciilici- (|u :is\ m|il(iliqiiciiiPiU (^comnic ihiii> le ras do Joycis de la |iicniit'i(' l'aiiic de ce Iravail); car il esl aisé de voir (luClle ne saurait aller passer par le point sint;nlier avec une lani;enle déleniiinée.

Il V a tontet'ois une exee|)lion. Nous avons vu (pie, d'après Briol et Boucpiel, il V a trois trajectoires T,, T^ et T;,, dont le> é([uations s'écrivent

a,, '^-2 et -^3 étant des fonctions lioloniorphes d'une même variaMc u.

ici deux de ces Irajccloire» sont imaginaires; mais une autre est réelle et a

pour équation