x -h ^y, yx-i-Sy et H^z
SLR LES COUtiniîS DKFIMKS PAR LES ÉQUATIONS DIKFÉnENTIKl.LKS. 175
11 anivciii alors (et on le dcmonirerait comme dans le deuxième cas) que l'é(|uallon
dx ay
admelli'a une laléi^rale lioloiuorplie en x el )• cl s annulanl avec ces variables. Il y a donc une surlace qui passe |)ar l'origine elsui' la([uclie >onl Iracées une inlinilé tie Lrajec'loiics. Soil
l'équalion de cette surface. Si Ion remplace :; par ■p(^, y) dans X et ^ , les équations (i) sont ramenées au premier ordre et représentent des courbes planes, projection sur le plan des xy des trajectoires tracées sur la surface en question. Il est aisé de voir (pic [)our ces courbes planes l'origine est un foyer.
11 exisle donc une surface sur laquelle sont tracées une induite de trajectoires qui, tournant comme des spiralcN aiiloui' du point singulici-, s'en lapprochent asjmptotiquement.
11 y a en outre une trajectoire Tf qui \a passer |)ar ce |)oinl siugLilicr. Toutes les autres en restent à une distance finie.
Un pareil point peut s'appeler col-fovi'r.
Cinquième hypollu'se. — L'équalion (oj a une racine réelle et deux imaginaires conjuguées, dont la somme est nulle.
Ce cinquième cas doit être regardé comme un cas limite et exceplionnel, car il ne se présentera pas si les polynômes \, \ et L sont les plus généraux de leurs degrés.
Dans ce cinquième cas, il n'arrivera pas en général tpie les intégrales des équations (i) puissent se mettre sous la forme (4).
Si cependant cela arrivait, et que nous posions
Hi=Kh-(K', H.2=K — ;K',
Si = ('a, 8»= — l'ï,
on verrait aisément que toutes les trajectoires sont situées sur des surfaces,
telles que
K' -H 1\'- = consl.
Nous aurions alors une trajectoire réelle T, passant par le point singulier et
ayant pour équation
Noii's aurons également une surface Ha = o passant par le point singulier.
176 SIR i.Es couuiir.s défîmes i'.vr i.ks équations iufférkntielles.
el sur laquelle seront tracées une infinité de trajectoires. Les trajectoires tracées sur celte surface sciout des courbes fermées enveloppant le point singulier.
Les surfaces R- + Iv'- = const. sont des es|)èces de gaines enveloppant la trajectoire T,. de sorte (|u'on pourrait les comparer à des cylindres ayant pour axe T,. et qui auraient été plovcs et d«!'forniés en même temps que celle trajectoire.
Les trajectoires tracées sur cette surface sont alors des espèces d'hélices dont le pas irait consiaiiimcnt en décroissant, de telle façon cpie la courbe, au lieu de s'élendre à l'infini, se i-approche asymptotiquemenl de la surface II;, = u.
Un pareil point singulier s'appellera un centre.
Si, au contraire, les intégrales ne peuvent pas se mettre sous la forme (4), le poinl singulier jouira des mêmes propriétés qu'un iojev ou qu'un col-foyer.
Je ne m'étendrai pas plus longtemps sur ce cas exceptionnel, en me réservant d'y revenir plus tard, si j'en avais besoin, pour quelque ajijdication. Je me bornerai, pour le moment, à renvoyer au Chapitre XI, où j'ai étudié en détail les points singuliers analogues des équations du premier ordre.
Si donc on laisse de côté le cas limite qui vient de nous occuper, les équations du second ordre ont quatre espèces de points singuliers : les cols, les nœuds, les foyers et les cols-foyers.
Il serait facile d'étendre cette théorie à des équations d'ordre /;.
Remarquons seulement que, quand on fait croître «, le nombre des espèces de points singuliers croît très rapidement. Nous avons vu, en eU'et, qu'il était de '■> pour /( = i , de 4 pour 11^ 2\ on verrait sans peine qu'il est de S pour n = 3 el de 10 pour n = 4-
Examinons maintenant le cas particulier où les trois surfaces
se coupent suivant une même courl)c, qui rst alors une combe singulière. Nous changerons de variables en iios^mt
'■pD '-pa cl ■-':, étant des fondions lioioniorjdies dans le domaim,' envisagé.
On pourra l(iujoiii-s choisir ces fondions liol()moi|dies de telle façon que la. courbe singulière ait pour nouvelles ((juations
Soient, en eli'et,
les équations de la courbe singulière, et soient
les coordonnées d'un point de celte courbe; soit f.^^x, y^ z) une fonclion holomorphe quelconque s'annulant au point M. Nous poserons
( z=Mx,y,z).
Nous pourrons toujours choisir la fonction f2 de telle sorte que le déterminant fonctionnel de /', fi et J\ ne soit pas nul au point M, et par conséquent que les équations (8) puissent être résolues sous la forme {'])■
Il n'y aurait d'exception que si la courbe singulière présentait un point double ou une autre singularité quelconque au point M, ce que nous ne supposerons pas.
Il résulte de là que nous pouvons toujours supposer que la courbe singulière est l'axe des s, et que le point de cette courbe qu'on envisage est l'origine.
Il faudra alors que X, \ et Z s'annulent quand x et )' sont nuls à la fois.
Nous allons maintenant faire un nouveau changement de variables qui sera cette fois linéaire, et sera par conséquent un simple changement d'axes.
Il est clair, d'après ce qui précède, que les termes du premier degré de X, Y et Z doivent être de la forme
nx + i'y, p^-(-8'j', ■ix + 'i'y.
Je vais conserver pour axe des ; la ligne singulière, mais je changerai le plan des xy, et je choisirai le nouveau plan des r y de telle façon que y et y' s'annulent.
Nous formerons alors l'équation suivante, analogue à l'équation (3), mais qui n'est plus ici que du second degré :
Si cette équation a deux racines réelles et de même signe, ou deux racines imaginaires conjuguées dont la somme n'est pas nulle, l'équation aux dérivées partielles
X^ -hY— =Z
dx dy
admettra une intégrale holomorphe s'annulant avec x et y. On n'a pour s'en H P. — 1. 23
178 SUR LES COURBES DKFIMKS PAR LES KOl'ATIONS DIFFÉRENTIELLES.
convaincre qu'à reprendre le ralsonncmenl que nous avons fail dans la seconde hypothèse.
11 y a donc une surface passant par le point siiii;ulier, et sur laquelle sonl tracées une infinité de trajectoires. L'élude des trajectoires situées sur celte surface se ramène au cas des é{|uations du premier ordre; il suffit, pour cela, de remplacer dans les équations (1), s par sa valeur tirée de l'équation de la surface. On voit alors que, pour les trajectoires tracées sur cette surface, le point singulier est un meud si les racines de l'éipialiim (9) sont réelles et de même signe, et un foyer si ces racines sont imaginaires conjuguées.
En un nœud, ainsi qu'en tous les points de la ligne singulière qui en sont assez voisins, viennent donc se croiser une infinité de trajectoires.
Autour d'un foyer ainsi qu'autour de tous les points voisins de la ligne singulière, viennent senrouler une inlinilé de trajectoires qui s'en rapprochent asymptotiquement.
Il reste à examiner le cas où l'équation (9) a ses deux racines réelles et de signe contraire. Dans ce cas, le lliéorénie de Briot et Bouquet, cité plus haut, nous apprend qu'il existe encore deux trajectoires qui vont passer par le point singulier avec une tangente déterminée. Ce sont les deux trajectoires que nous avions appelées T| etT^; quant à la trajectoire T^, elle se réduit à la ligne singulière elle-même. Toutes les autres trajectoires restent à une distance finie du point singulier. Un pareil point singulier s'appellera un col.
Ainsi par lîn col et par tous les points assez voisins de la ligne singulière, passent deux trajectoires; toutes les autres trajectoires restent à une distance finie de la ligne singulière.
Il y aura donc sur une ligne singulière des arcs dont tons les points seront des nœuds, d'autres dont tous les points seront des foyers, d'autres dont tous les points seront des cols. Les points qui sépareront ces arcs les uns des autres, ainsi que les points multiples de la ligne singulière, présenteront des singularités spéciales dont je ne parlerai pas ici.
Je terminerai ce Chapitre en donnant un exemple très simple de chacun des cas traités plus haut.
Points SI m;i Lr ERS isolés : i" Nœuds. — Soit
Les trajectoires sonl des droites passant par rinigiiie.
Sun LES COURBES DEFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. I79
2° Cols. — Soit
f/x dy fl^ ,
X ~ y ~ zr--"^ ■
Sur la surface ;^o qui passe par rorii;ine sont tracées une iufmité île trajectoires qui sont des droites passant par l'origine. En outre, l'axe des ; est aussi une trajectoire qui passe par l'origine.
Les autres trajectoires qui ont pour ccpialions
xz = coiisl., yz = const.
sont des hjperljoles qui restent à une dislance finie de l'origine.
3° Foyers.
dx dy ^^ , X -k- y — X -\- y ~ z ~
L'axe des :; est ici la trajectoire T, qui passe par l'origine.
La surface 11,1 =o n'est autre chose que le j)lan des xy : les aiilrcs irajecloires sont tracées sur des cônes de révolution; elles se projrlknl toutes sur le plan des xy suivant des spirales logarithmiques; elles vont donc toutes en se rapprochant asymptotiquement de l'origine.
Remarquons qu'ici les surfaces dont nous avions écrit l'équation générale sous la forme
Si+S,
consl.
se réduisent à des cônes de révolution. Elles ne présenteijt donc aucune des deux formes que j'avais altrilniées à ces surfaces. En effet, nous avons allaire à un cas d'exception.
Si nous avions eu pour équations dilTérenlicilcs
dx dy dz
ces surfaces auraient eu un plan tangent unique pour a <; i , et, pour c. > i , elles auraient présenté la forme delà surface engendrée par la révolution d'une parabole autour de la tangente au sommet. 11 n'y a donc d'exception que j)our le cas de a = i .
4" Cols-foyers. — Soit
dx dy dz
Une trajectoire, l'axe des z, va passer par l'origine; une infinité d'autres
= dt.
l8o SUR LES rOliRBES DKFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
sont tracées sur le plan des xy et sonl des spirales logarithmiques se rapprochant asjmptotiqiiement de l'origine.
Les autres trajectoires sont situées sur les surfaces
(x^-+- y^)z^ = consl.,
el restent par conséquent à une distance finie de l'origine.
5° Centres. — Soit
dx dy (Iz ,
Les trajectoires ont |)i)ur équation générale
x''- -^ y^ = r"^ , arctang— =logc + A,
A et r* étant deux constantes d'intégration. Les trajectoires sont tracées sur des cylindres de révolution. Une seule d'entre elles, l'axe des 3, va passer par l'origine. Une infinité se réduisent à des cercles situés dans le plan des xy. Les autres sont des courbes qui tournent indéfiniment sur les cylindres en se rapprochant asymptotiquement du plan des xy.
Points d'uine ligne singulif.re : 6" Nœuds.
d.c dy dz X ~ y ^ o
Les trajectoires sont les droites parallèles au plan des xy et rencontrant l'axe des 5, qui est la ligne singulière.
7" Cols.
dx dy dz
Les droites z = const., a; ^ o, et les droites ; = const., )' = o, sont des trajectoires qui rencontrent l'axe des :;, c'est-à-dire la ligne singulière. Les autres sont situées sur les cylindres hyperboliques
xy = consl.
et restent à une distance finie de l'origine.
8" Foyers.
dx dy dz
SUK LES COURBES DEFIMES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l8l
Les trajectoires sont des spirales logarithmiques situées dans des plans parallèles au plan des xy; elles enveloppent la ligne singulière en s'en rapprochant asympto tique ment.
CHAPITHE XVII.
