INTÉGRATION PAR LES SÉRIES
Nous avons vu qu'une équation ilillercntielle quelconque peut loujours se mettre sous la forme
"^ -d'c'-^" "dt-^" ■■■' HJ -^"'
où les X sont des polynômes entiers.
Si l'on regarde t comme représentant le temps, ces équations définiront le mouvement d'un point mobile dans l'espace à n dimensions.
Il arrivera alors, quand le temps croîtra indéfiniment :
i" Ou bien que le point mobile restera loujours à distance finie et ne se rapprochera pas indélinimeiit d'un point singulier;
2" Ou bien que le point mobile s'éloignera à l'inlini;
3" Ou bien que le point moliile ira, au bout d'un temps fini, passer par un point singulier;
4" Ou i)ien que le point moliile ira en se rapprochant indéfiniment d'un foyer ;
5" Ou bien que le point mobile viendra repasser, à des intervalles de temps finis et une infinité de fois dans le voisinage d'un point singulier, de telle sorte que sa distance à ce point singulier puisse devenir plus petite que toute quantité donnée, mais pour redevenir toujours finie dans les intervalles des différents passages.
En d'autres termes, la distance du point mobile à un point singulier quelconque peut, ou bien rester finie (premier cas et deuxième cas), ou bien tendre vers zéro (troisième et quatrième cas), ou bien osciller de façon à devenir plus petite que toute quantité donnée £, mais sans rester plus petite que cette quantité s et par conséquent sans tendre vers o (cinquième cas).
l8î SUR LKS COIUBKS llKKlNIliS l'An I.KS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
Il V a donc cinq espèces de trajectoires, et il est aisé de construire des exemples de ces cinq espèces.
Il V aurait évidcninicnt un ^rand intérêt à exprimer .r,, X2, . . . , .r, à l'aide de séries ordonnées >uivanl diverses fonctions du temps, et convergentes pour toutes les valeurs réelles du temps depuis t = — 00 jusqu'à < = + oo.
Il est toujours possible de résoudre ce problème, et je vais en effet en donner une solution. Mais, d'après sa nature même, ce problème peut être résolu d'une infinité de manières. Rien ne prouve donc que la solution que je vais donner soit toujours la plus avantageuse; bien au contraire, il est extrêmement peu probable qu'une même solution convienne également bien à tous les cas particuliers possibles. 11 faudra donc, pour chaque équation qu'on aura à intégrer, chercher une solution analogue, mais non identique à celle que je vais développer, et s'efforcer de la choisir convenablement en s'inspiranl des conditions spéciales du problème.
Introduisons une nouvelle variable s en écrivant
, dx^ dxï dxi,
de telle sorte que
dx^ ds
ds X, dt ~ Y,
Les \ seront des fonctions de J?|, x.^^ ..., x„ satisfaisant aux conditions suivantes.
Pour toutes les valeurs réelles des x et pour toutes les valeurs des x dont la partie imaginaire est comprise entre — [îl et -|-|3, les fonctions Y sont holomorphes et leur module est plus petit que M. Si donc on a à la fois :
I l'iirlic imaginaire de ar, | < p, I l'ailie imaginaire de x^ \ < fi,
