Partie imaginaire de x,, j < p, on aura ainsi à la fois

|Y, |<M, 1Y.,|<.M, .... |Y„|<M Soient alors

un système de \aleurs réelles de

SUR LES COURBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES. l83

Toutes les fois que

les fonctions Y seront lioloinorphes. et leur module sera plus petit que M. Si donc nous développons \ selon les [juissances croissantes de

Xi X ^ , X.2 .ï^.^, • • - ) X,i ^,,,

les coefficients seront plus petits que ceux de

Mg

P — Xi — Xi — ... — X„-^-x1-hX^-\-...-\-x'^l '

Nous écrirons, en employant les notations du Chapitre XI,

les \ et Z étant supposés développés suivant les puissances des j;, — a:".

Soit «0 la valeur réelle de s qui correspond aux valeurs x° des a;,-. En partant des équations (2), on pourra développer les x suivant les puissances de s — .«o,

Si l'on suppose maintenant un autre point mobile dont les coordonnées x satisfont aux équations

dxi dxi th„

on pourra aussi développer les coordonnées de ce nouveau point mobile suivant les puissances de s — Sq,

Les coeflicienls des séries A seront tous positifs et respectivement plus grands que les coeflîcients correspondants des séries o.

Cherchons les valeurs des '];, c'est-à-dire intégrons les équalions (2 bis), il viendra d'abord

X\ .T ^ =^ .V) J'^ = . . . = Xn Xfi .

Appelons u la valeur commune de ces quantités. Les équalions (2 bi.'i) se

réduiront à

du M

ds nu

d'où

i84 si;n LES courbes défîmes par les éqi'ations différentielles.

et enfin

nu = (3 — v/j3'— 2prtIVl(s — s„).

Le radical s'annule pour

Donc les séries A sont converj;enLes toutes les fois que

Il en est donc de même des séries tp.

Ainsi les fonctions •■s(.'i) sont holoiiiorphes à l'intérieur d'un cercle de

rajon -^^ ayant sou centre en un point quelconque i» de l'axe X des quantités

réelles.

Si nous menons de part et d'autre de X deux parallèles à une distance de X

égale à — ^ — > ces deux parallèles, dont l'équation sera