Partie imaginaire de i
limiteront une bande B du plan à l'intérieur de laquelle les fonctions o seront holomorphes.
Nous allons chercher lu représentation conforme [âhnUclie AbbiUlung) de cette bande sur un cercle. Soit
p = . avec i = ii-l-î^2.
Cherchons la condition pour que
iiiod p < I,
Il vient
e"-'! ( cos a is -(- j sinas. ) — i
e«*i(cosaf2-(- I sinas,) + I
,„ (e»*! cosas.2— 1)2 + e'asi sin'ai.2
moil'c = — i — r--
(e*»'i rosotJ2-t- i) + '"'''' sin-îtSi
OU
gîas, -4 , .pe««i cosasj
mod'c = --— r •
e»a.<, ) 1 ( îgï», cosasj
Pour que cette quantité soit plus petite que i, il faut et il suffit que cosasj soit positif, ou que
I asj ! < -•
Sl'R LES COURBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l85
En d'autres ternies, le point s devra être à l'intérieur d'une bande comprise entre les deux droites
Si nous prenons
n iM -
cette bande sera la bande B, et la relation entre {■• et s définira la représentation conforme de B sur le cercle de centre o et de rayon i .
Si nous considérons maintenant a;,, x^, ..., Xn comme fonctions non plus de 5, mais de c, ce seront alors des fonctions holomorphes à l'intérieur de ce cercle; ces quantités pourront donc être développées en séries ordonnées, suivant les puissances croissantes de v, et convergentes toutes les fois que le module de p est plus petit que i .
Les coefficients de ces séries peuvent se calculer par récurrence.
Il n'existe, en effet, qu'un système de séries développées suivant les puissances croissantes de
et qui satisfassent formellement aux équations (2).
Ces séries sont convergentes pour toutes les valeurs réelles de s ; car, quand 5 est réel, le module de f est plus petit que i .
Je vais maintenant montrer que l'on peut toujours choisir une variable s satisfaisant aux conditions précédentes. Il suffit pour cela de prendre
Je dis, en premier lieu, que
i + SX^
sera holomorphe pour toutes les valeurs réelles des x. En effet, cette fonction ne pourrait cesser d'être holomorphe que si l'on avait
H-SX2 = o,
ce qui n'est pas possible quand les x sont réels.
En second lieu, si les X sont réels, Y; sera toujours plus petit que ^ en valeur absolue.
Soient j;", J7°, . . ., x"^ un système de valeurs réelles des x; et soit A un H. P. — I. - 24
l8(i SUR LES COURBES DÉFINIES PAR LIÎS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
domaine formé de tous les systèmes de valeurs des x, tels que
\xt-x<>\<p, !.rj-r§I<p, • ..., |^„-^»l<p.
La quantité p pourra s'appeler le rayon, et le système de valeurs x",, ;r", ..., ar° pourra s'appeler le centre du domaine A.
On pourra toujours prendre le rayon de A assez petit pour qu'à l'intérieur de ce domaine les Y restent hoiomorphes et plus petites que i en valeur absolue ; mais nous choisirons pour p la plus grande valeur qui satisfasse à celte condition.
Je dis maintenant que p restera toujours supérieur à une quantité constante poï quel que soit le centre du domaine A. En effet, lorsque ce centre se déplacera d'une manière contiriue, p variera aussi d'une manière continue; p ne pourra jamais s'annuler pour un système de valeurs finies de x', a?", . . ., x",, sans quoi les fonctions Y cesseraient d'être hoiomorphes en ce point.
Il reste à faire voir que, quand le centre du domaine A s'éloignera indéfiniment, p ne tendra pas vers o.
Supposons, par exemple, que x^ croisse indéfiniment pendant que les autres quantités .r° pourront croître aussi indéfiniment ou rester finies.
Changeons de variables en posant
a") — — y x^ — — j • • • ï ir,i — — j
ri 7l yr
Nous pouvons supposer qu'en même temps que x" croît indéfiniment les quantités J'", . . . , j'" tendent vers des limites finies; en effet, si cela n'était pas on n'aurait qu'à faire entre les x un changement linéaire de variables.
Nous pouvons toujours supposer : i" que les polynômes X,, X,, ..., X„ sont tous d'un même degré ni ; 2° que les termes de degré m de ces /( polynômes ne peuvent s'annuler à la fois sans que toutes les variables j;,, x^, •••, x„ s'annulent aussi. Si, en effet, il n'en était pas ainsi, on ferait un ciiangement linéaire de variables (je veux parler ici d'une substitution linéaire fractionnaire).
Toutes ces hypothèses étant faites, nous poserons
et il viendra
. ^?"'-(-X7-hX'/-(-... + x',?
Cette fonction ne pourrait cesser d'être holoinorphe par rapport aux y (si les y sont réels) que si l'on a à la fois
y^ = x; = Xi = . . . = x;, = 0.
Or cela est impossible, d'après les hypothèses faites plus haut. Donc, si
sont un système de valeurs réelles des }', on pourra trouver une quantité p', telle que les fonctions Y soient holomorphes et de module plus petit que i , toutes les fois que
\J'>\<?\ li--2-7"l<p', •••, \j'n~y?,\<9'-
Gela suffit pour montrer que p ne tend pas vers o.
Il en résulte qu'il existe une quantité po qui est toujours plus petite que p et qui est telle, par conséquent, que les Y soient holomorphes et de module inférieur à I, toutes les fois que les parties imaginaires do tous les x seront plus petites que po en valeur absolue. c. q. f. d.
Ainsi, la variable s étant définie comme nous l'avons fait plus haut, les x peuvent se développer suivant les puissances de
et le développement est valable pour toutes les Aaleurs réelles de *• ou de t.
Nous avons vu, toutefois, qu'il y aurait une difficulté si les termes de degré le plus élevé des polynômes X pouvaient s'annuler à la fois; il suffirait alors, comme nous l'avons dit, de faire un changement de variables. Mais il est plus simple d'opérer de la façon suivante : nous pouvons toujours trouver un polynôme Z de degré m, tel que les ternies de degré m des n + i polynômes X|, X.,, . . ., X„ et Z ne puissent s'annuler à la fois sans que tous les x s'annulent. On poserait alors
i + Xf ^-X|-h...+ X2-+-Z2' et l'on démontrerait, comme précédemment, que les "i restent holomorphes et
l88 Sl'R l.ES COURBiiS DÉFINIES PAR LES É0l'ATtO>S DIFFÉRENTIELLES.
de module plus petit que i, toutes les fois que les parties imaginaires des x sont inférieures en valeur absolue à une quantité donnée p,,.
Les séries que nous venons de définir, et qui sont ordonnées suivant les puissances de
représenteront toutes une trajectoire; il eonvient, toutefois, d'obseiver que si cette trajectoire va passer par un point singulier, elle devra être regardée comme coupée en ce point singulier qu'on considérera comme un point d'arrêt. En eflel, le point mobile ne peut (d'après la forme même des équations) atteindre un point singulier que pour des valeurs infinies de s et de t.
Parmi les équations auxquelles on poui'i'ait être tenté d'appliquer la méthode précédente, on peut citei- les équations du problème des trois corps, auxquelles elle est effectivement applicable.
Les développements ordonnés suivant les puissances croissantes de
seront alors valables pour toutes les valeurs du temps.
Il y aurait exception seulement si les données initiales étaient telles que deux des trois corps vinssent à se choquer au bout d'un temps fini; il arriverait alors en ellel que .s deviendrait infini à l'époque du choc. Les formules ne seraient donc valables que jusqu'à l'époque du choc; mais il est évident que, pour des époques postérieures au choc, le problème est illusoire.
Soit maintenant t le temps [il s'agit ici du temps véritable et non du temps auxiliaire que j^avais introduit un peu arbitrairement dans les équations (i)]. .Si l'on était sûr à l'avance que la distance de deux quelconques des trois corps restera toujours supérieure à une limite donnée (elle peut d'ailleurs croître indéfiniment), on pourrait affirmer que les coordonnées des trois corps peuvent être développées suivant les puissances de
en séries toujours convergentes.
Je ne crois pas toutefois qu'on puisse tirer grand parti des applications de cette méthode à la Mécanique céleste. Je n'ai vo*ilu, je le répète, que donner un exemple, et non exposer une méthode qu'il convient d'appliquer dans tous
les cas. On peut choisir la variable s d'une infinité de manières; le choix que j'ai fait était tout à fait arbitraire, et rien n'empêche de multiplier à l'infini les méthodes analogues à celle que je viens d'exposer.
