DISTRIBUTION DES POINTS SINGULIERS
Ce Chapitre sera tout entier une application d'un théorème de AI. Kronecker.
Ce théorème est l'objet de deux Mémoires intitulés : Ueber Sysieme von
Fiuictionen mehrerer Variabeln, et ont été insérés dans les MonatsbericlUe
de l'Académie de Berlin (mars 1869, août 1869).
Soit
une surface quelconque (jue je supposerai fermée.
Soit dw un élément quelconque de cette surface. Soient
/dV^ dF^ rfF»
y d^ '^ dy^ ^ dl^ '
L'intégrale
,n^ rfK ûfF
dx dy dz
dX d\ d\
dx dy dz
dY d\ d\
dx dy dz
dL dL dL
dx dy dz
étendue à tous les éléments de la surface considérée ou d'une nappe fermée
quelconque de cette surface, s'appellera V indice de celle surface ou de cette
nappe.
Soit, par exemple,
X = x, Y=jK, Z = z,
igO SIR LES (lOUHBES DKKINIES PAR I.KS ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES.
Notre surface est alors une sphère qui enveloppe l'origine, laquelle est un nœud.
11 vient
o IX iy 2Z
L'indice est alors égal à
Mais / clw est la surface de notre sphère, F=: o, c'est-à-dire ^-d-. L'indice
est donc égal à 1 .
Si X = :r, Y = )•, Z = — • r, l'origine est un col et l'indice est égal à — 1.
Si X ^ j^, Y= — •»', Z= — -z, l'origine est encore un col, mais l'indice est égal à + 1 .
Si X = — .r, \ ^ — )', Z= — 3, l'origine est un nœud et l'indice est égal à — I.
Voici maintenant le théorème général qu'on peut déduire aisément de celui de M. Kronecker.
Nous distinguerons deux sortes de points singuliers : les points singuliers positifs, pour lesquels le déterminant
d\ d\ dX.
dx dy dz
dY d\ il^
dx dy dz
dL dZ M
dx dy dz
est positif, ei les |)oints singuliers négatifs pour lesquels ce déterminant est négatif.
Il est aisé de voir qu'il y a des nœuds, des foyers, des cols et des cols-foyers positifs, et d'autre part des nœuds, des foyers, "des cols et des cols-foyers négatifs.
C'est le contraire de ce qui arriverait dans le cas des équations du premier
ordre
rf£ dy y
dt ~ ' dt."
Dans ce cas, en effet, tous les nœuds et tous les foyers sont positifs et tous les cols sont négatifs.
D'après le théorème de M. Kronecker, l'indice d'une surface fermée quelconque est égal au nombre des points singuliers positifs situés à l'intérieur de cette surface, diminué du nombre des points singuliers négatifs.
Supposons maintenant que la surface considérée soit une surface sans conlact. c'est-à-dire qu'on n'ait en aucun point réel de cette surface
ax dv dz
Je distinguerai d'abord, parmi les surfaces sans contact, deux espèces différentes : l'espèce positive, pour laquelle
rfF dV ^ dF ^ dF^
dt dx dy dz
et l'espèce négative, pour laquelle
dF rfF^ ^Y-i-— Z<ro
dt dx ' dy dz
Pour distinguer ces espèces, il convient de choisir F de telle sorte que F soit plus grand à l'extérieur de la surface fermée qu'à l'intérieur de cette même surface.
Cela posé, je vais montrer que l'indice d'une surface sans contact ne dépend que de son espèce et de son genre (au point de vue de V Analysis Situs, cl. IIP Partie, Chap. XII).
Je vais faire voir que l'indice d'une surface d'espèce positive ne change pas
quand on remplace X, Y et Z par -j-, -y- et -r; , et que celui d'une surface
'^'^ y - ^ , ^ dF
d'espèce négative ne change pas quand on remplace X, \ et Z par — -j— j
~5y' dz-
Représentons, en effet, la vitesse du point mobile par une flèche dont les projections sur les trois axes seront X, Y et Z. Par chacun des points de notre surface passera donc une flèche ; toutes ces flèches seront dirigées vers l'extérieur, si la surface est positive, et toutes vers l'intérieur si la surface est négative.
Nous allons maintenant faire varier d'une manière continue X, Y, Z et F, de façon à déformer la surface et à faire varier les flèches. L'indice ne changera
ig! si'R LES coviinns hkfinies par les kqi ations différentielles.
pas, pourvu ijuà aucun inonwMil de la déforniaLion la vitesse d'aucun point de
la surface ne devienne nulle.
C'est ce qui arrivera si la surface reste conslanimenl sans contact, et si elle conserve son genre et son espèce.
Ainsi l'indice d'une surface sans contact ne dépend que du genre et de
l'espèce, et en particulier on peut remplacer X, Y et Z pav ± -z- , ± -j- , ± -7;^ en prenant le signe -+- ou le signe — , suivant que la surface est positive
ou négative.
En particulier, considérons une sphère sans contact; nous avons vu par l'exemple traité plus haut,
qu'une pareille sphère a pour indice +1 si elle est positive; elle a d'ailleurs pour indice — i si elle est négative, comme on le voit en faisant
\= — a-, Y=— 7. Z=— 3, F = .r2 + jK'^+ 3^— n-.
Ainsi une surface sans contact de genre o a pour indice ± 1 , selon qu'elle est positive ou négative. Dans le cas des équations du premier ordre
un cjcle sans contact avait toujours pour indice +1, qu'il fût positif ou négatif.
Il résulte de là les conséquences suivantes :
A l'intérieur d'une surface sans contact de genre o et positive, le nombre des points singuliers positifs est supérieur d'une unité à celui des points singuliers négatifs; il lui est inférieur d'une unité si la surface est négative.
A l'intérieur d'une surface sans contact de genre o, il y a toujours au moins un point singulier.
Ce sont des considérations analogues qui, dans le cas du premier ordre, nous avaient conduits à une relation entre le nombre des cols, des foyers et des nœuds. JNous n'avons Ici rien à attendre de seini)lable. C'était en effet une relation entre le nombre des points singuliers positifs (à savoir les noeuds et les foyers) et le nombre des points singuliers négatifs (à savoir les cols). Mais, dans le cas qui nous occupe maintenant, un nœud, un col, un f(jyer ou un col-foyer
SUR LES COURBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. igS
peut aussi bien être positif que négatif. C'est ce qui empêche la relation dont je viens de parler de se généraliser.
Soit maintenant une surface sans contact de genre o et positive; et une seconde surface sans contact de genre o et négative, intérieure à la première. Soit E l'espace compris entre les deux surfaces. La différence des indices est égale à 2. Donc le nombre des points singuliers positifs situés dans l'espace E est supérieur de deux unités à celui des points singuliers négatifs. (Il lui serait inférieur de deux unités si la surface positive était intérieure à la surface négative.)
Donc, entre deux surfaces sans contact de genre o et d'espèce différente, il y a toujours au moins deux points singuliers.
Clierchons maintenant l'indice d'une surface sans contact de genre i . Soit
F = (x^-hy-^^z^-ha^)''— ^ a-^(x^-hy^) = c''
l'équation générale d'une famille de surfaces, c> étant un paramètre arbitraire (surfaces engendrées par la révolution d'un système d'ovales de Cassini).
Les surfaces F = c' sont de genre o si c > a, et de genre i si c <Ca.Si c = a la surface F ^ a' admet un point conique.
Les équations différentielles des trajectoires orthogonales de ces surfaces
seront
dx dF dy dF f^^
~di ~ Ix' dt ~ Hy^ in ~ dz'
Pour ces trajectoires, il n'y a qu'un point singulier qui est l'origine, et ce point singulier est positif, comme il est aisé de s'en assurer.
De plus, pour ces mêmes trajectoires, les surfaces F = c' seront des surfaces sans contact positives.
Soient donc deux surfaces ¥ r= b\ ¥ =: d\ (b' <^ a'' <^ d^) : la première sera de genre i , la seconde de genre o; l'indice de la seconde est -!- i ; soit I l'indice de la première. La différence des indices devra être égale au nombre des points singuliers positifs compris entre les deux surfaces, moins le nombre des points singuliers négatifs. Or il y a entre les deux surfaces un point singulier positif et pas de point singulier négatif. On a donc
d'où
Ainsi l'indice d'une surface sans contact de genre i et positive est nul, et il en serait de même de l'indice d'une surface sans conlacl de genre i et négative. H. p. — I. 25
I<)4 SUR I-RS i:OlII\BKS DÉFINIES PAU LES KyUATIONS niFl'KnKNTlKLl.KS.
Jiii raisoiinanl de la inêine manière, on verrail que l'indice d'une surface sans conlacl de genre p est — {p — i) si elle est positive, «l + (/> — i) ^' ^^^ est négative.
La conséquence immédiate de ce résultat est qu'à l'intérieur d'une surface sans contact quelconque, il y a toujours des points singuliers, à moins que cette surface ne soit de genre i , auquel cas on ne sait rien. .
Soient deux surfaces sans contact, l'une extérieure à l'autre; et soit E l'espace compris entre ces deux surfaces.
Si ces surfaces sont toutes deux positives ou toutes deux négatives, l'espace E contiendra toujours des points singuliers, à moins que les deux surfaces no soient de même genre.
Si ces deux surfaces sont l'une positive et l'autre négative, l'espace E contiendra toujours des points singuliers, à moins que les deux surfaces ne soient l'une de genre o et l'autre de genre 2 ou toutes deux de genre i .
Il est aisé d'étendre les résultats qui précèdent au cas général des équations
Soit, en ciret,
F(.ri,a".2, . . ., x„) = 0
l'équalion d'une multiplicité (/? — ly'nip l^Mannigfaltigkeil) qui jouera dans l'espace à /( dimensions le même rôle qu'une surface dans l'espace ordinaire. .Soit (Jw un élément (juelconque de cette multiplicité. Soient
Soit A un déterminant où le premier élément de la première colonne est o; où le (e -|- i)''"'" élément de la première colonne est X,-; où le (« -f- i )'*""" élément
de la première ligne est -^ — ; ou enfin le (/.+ 1 )''*"'° élément de la (j'+ 1)"'"'°
dx colonne est
dxi Soit ro l'intégrale
dv,
étendue à tous les éléments de la multiplicité
xf -I- a?; -H . . . -h arj = 1 .
L'intégrale
1 r A div
étendue à tous les éléments de la multiplicité F=; o, sera V indice de cette multiplicité.
La distinction des points singuliers positifs et négatifs se fera comme dans le cas particulier déjà étudié, et l'on verra que l'indice d'une multiplicité est égal au nombre des poinLs singuliers positifs situés à l'intérieur de celte multiplicité, diminué du nombre des points singuliers négatifs.
Mais il j a lieu ici de faire une remarque importante. Pour classer les points singuliers, on forme l'équation en S,
dx,
dx.
dx„
dX.
dxx
dx-i
dX, dx„
dx I
dx,
dXn
Supposons que cette équation de degré a ail p racines réelles positives, q racines réelles négatives; ir racines imaginaires à partie réelle positive; 2 s racines imaginaires à partie réelle négative. On a
p + q + 1 r H- ai = n.
Les quatre nombres p, q, r, s caractériseront le point singulier et feront connaître la forme des trajectoires dans le voisinage de ce point. Toutefois, les points {p, <7, /•, s) et les points (q, p, .1, r) devront être regardés comme do même espèce, c'est-à-dire que la forme des trajectoires est la même dans les deux cas.
Ainsi, si nous faisons n = 3, on voit que pour les équations
dx
lit
dt
dz
l'origine, qui est un point singulier caractérisé par les quatre nombres (3, o, o, o), est un nœud de même que pour les éijualions
dx
dt
dz
dt
où elle est caractérisée par les qpalre nombres (o, 3, o, o).
IMaintenani un point sinf;ulier est positif si q est pair, et négatif si q est impair.
Il est aisé de voir f|ue si n est pair,
/) = (/ (moda), et que si n est impair.
p ^s q -i- i ( iiiod 2).
D'où il suit que, si n est paii', les deux points singuliers (/), c/, r, s) et [q, p, r, s) sont tous deux positifs ou tous deiix négatifs. Si, au contraire, « est impair, ces deux points singuliers sont de signe contraire.
Il résulte de là que, si n est pair, deux points singuliers de même espèce sont toujours de même signe, et qu'il n'en est plus de même si n est impair.
C'est ainsi que, pour n = 2, les foyers et les nœuds sont toujours positifs et les cols toujours négatifs, et que, pour n = 3, les nœuds (de même que les foyers, les cols et les cols-foyers) peuvent être positifs ou négatifs.
On définira, comme on l'a fait plus haut pour les surfaces, les multiplicités (n — ly^mc sans contact, qui pourront se répartir en deux espèces, l'espèce positive et l'espèce négative.
Une multiplicité ( n — 1^""- sera caractérisée au point de vue de VAnatjsis Sifiis par ses n — 2 ordres de connexions tels qu'ils sont définis par Riemann (Gesammefle Werke; Leipzig, Teubner, iS^yf), p. 44'^), et par Brioschi (Annnli di Matemalica., t. V).
L'indice d'une multiplicité sans contact ne dépendra que de ses ordres de connexion et de son espèce.
Considérons maintenant deux multiplicités sans contact, ayant mêmes ordres de connexion et étant l'une positive, l'autre négative; leurs indices seront égaux et de môme signe si n est pair, égaux et de signe contraire si /( est impair.
Une multiplicité sans contact, simplement connexe et positive, aura pour indice + 1 . Le nombre des points singuliers positifs situés à l'intérieur surpassera d'une unité le uomlire des points singuliers négatifs.
Si n est pair, les points singuliers de même espèce seront toujours de même signe, et nous aurons ainsi une relation entre le nombre des points singuliers (les dillérentes espèces. Nous n'en aurons pas si /; est impair. C'est ainsi que nous avons obtenu une pareille relation pour n = 2, et que nous n'en avons pas obtenu pour /; = 3.
Soient iM et M' deux muliipiiciiés sans contact ayant mêmes ordres de con-
nexion, la première positive, la seconde négative, la première extérieure à la seconde. Soit E l'espace compris entre M et M'.
Lorsque n sera impair, l'espace E contiendra toujours des points singuliers si l'indice de M n'est pas nul, et en particulier si M est simplement connexe. Nous ne pourrons, au contraire, rien affirmer si n est pair.
