A III
Ainsi la quantité a^ est égale à un nombre constant, qui est la valeur de a, lorsque A = r , et par la série précédente on trouve
C'est le nombre qu'on désigne ordinairement par e, de sorte que la
relation entre a et A se trouve exprimée d'une manière finie par l'équa-
tion a* = e, laquelle donne a = e*.
Donc, si/(x) = e"'-^, on aura a = e"\ A = t/z, et par conséquent
f'[x)= me""', f"[x] = m'^-e'"-^; f"'[x] = m^e"'-^, ....
d'où l'on tirera, comme ci-dessus,
e"'^:= 1 + mx -\ 1 -— 1
Or, dans l'équation j = a^, x est ce qu'on appelle le logarithme de j,
a étant la base du système logarithmique, c'est-à-dire le nombre dont
le logarithme est l'unité, de sorte que cette équation donne a;— logj
pour la base a. Par la même raison, l'équation a* = e donnera — = log^
pour la base « et A= loga pour la base e.
Dans le système des logarithmes ordinaires, la base a a été prise
égale à lo, parce que ces logarithmes sont plus commodes pour le calcul arithmétique; mais, dans l'Analyse on prélerc, comme plus simple, le système dont la base est le nombre e; c'est le système des logarithmes de Neper, qu'on nomme communément logarithmes hyperholiques, parce qu'ils sont représentés par l'aire de l'hyperbole équilatère entre ses asymptotes, et on les désigne par la simple caractéristique 1. Ainsi on a A = la; par conséquent, la fonction prime de la fonction a"" est exprimée par a^\a (numéro précédent).
Au reste, comme a = 6'\ on aura a = e^", et par conséquent a' = e''", moyennant quoi on peut réduire toutes les exponentielles à la même base e.
13. Soit donc, en troisième licu,/(j:")= \o^x; on aura, par la nature des logarithmes, j? = a-^f^\ Or, x devenant x-\-i,f[x) devient
f^x + /) =.f[x) + if'[x) + ^/"(^) + . . . .
Faisant, pour abréger, o = îf'[x) -\ f"{3c) 4- . . . , l'équation x = a^'-"
deviendra, en y mettant x -+- i pour x et/{x) + o pour/(.r),
et, divisant cette équation par la précédente, on aura
n — = «"— I 4- Ao + ^ — h. . . numéro précèdent :.
Eflaçant l'unité de part et d'autre, et divisant par i, après avoir substitué la valeur de o, on aura, en ordonnant suivant les puissances de i,
l=A/V)+;[A/"l^)+AV=(ar)] + ....
La quantité i étant et devant demeurer indéterminée, il faudra que cette équation se vérifie indépendamment de cette quantité; par conséquent, tous les termes affectés d'une même puissance de i devront
se détruire d'eux-mêmes et former autant d'équations à part. On aura donc ainsi
^ = A/'(x). kf"[x]+k'^f''[x)^o,
et ainsi de suite.
Donc, /(a?) étant égal à loga:-, on aura, en général,
et de là, par la formule générale du n" 10, on tirera
X' la
valeurs qui satisfont, comme l'on voit, aux différentes équations trouvées ci-dessus. Ainsi, par la substitution de ces valeurs dans la
série/(a:) +if'[x) -\ — f'\x) + • • • , on aura sur-le-champ Iog(.r + /) = logx
X \u 2x-\a 3x^ \a Faisant x = i et changeant i en x, on aura la formule connue
log(, + ^) = '—^
Pour les logarithmes hyperboliques où le— i, on aura simplement
f{x)=ix, /'(^)-^ r{x)=.-^, ....
14. Les sinus et cosinus d'angles considérés analytiquement ne sont que des expressions composées d'exponentielles imaginaires; ainsi, on peut déduire leurs fonctions dérivées de celles de ces exponentielles.
Soit donc, en quatrième licu,/(^) ~ sin^; comme on a
sin.r = - ==: 5 cosx= '- s
on fera
ot l'on aura (n° 12), ^\\ mettant ±\ ^i au lieu de m dans e'"-'".
f'[x)= = COSJT.
De même, en faisant
on trouvera
y [;c) = COS.r =r7 ,
/ (^) = — ^ v— i = -sin:
Connaissant ainsi les fonctions primes des fonctions sin.r, coso^, on en déduira facilement toutes les autres fonctions dérivées.
En effet, puisque/(a') = sina;a donné/'(^) = cosa? et que/(a:') = cos.r a donné/'(^)= — sin^, on aura, poury'(a^) = sin/r,
/'(ar) = cos.r, /"(ar) = — sin.r, /'"(jr) ^ — cosr, /'■''(^•) = sinjr, ...,
et, pour/(j-) = cosa% on aura
f'(x)=^ — sin.r, /"[^) — — coso.-, f"\x) =^ sinx, f"'[x)=^cosx, ....
D'après ces formules, on aura sur-le-champ les séries
sinlx -\- i) ^= sinx -+- 1 cosjr sin.r cos.r h -^-—r ?,\nx +. . .,
i- i^ i'' cos(.r -!-;) = cos.r — i sin.r cosjc H ^ sinx m r— > cosjc — . . . ,
d'où, en faisant j7 = o et changeant i en a-, on tire les séries connues
sm.ri=:.r -H .. , ^ ? cos.r = i
15. Les fonctions x'", a^, l.r, sino;, cosr que nous venons de considérer doivent être regardées comme les fonctions simples analytiques
(ruiic seule variable. Toutes les autres fonctions de la même variable se composent de celles-là par addition, soustraction, multiplication ou division, ou sont données en général par des équations dans lesquelles entrent des fonctions de ces mêmes formes. Ainsi, connaissant les fonctions primes des fonctions simples que nous venons d'examiner, on trouvera aisément les fonctions primes des fonctions composées, et, par les mêmes opérations répétées, on aura successivement les fonctions secondes, tierces, etc.
Soient p, </, /•, ... des fonctions simples de x, dont p' , q\ /', ... soient les fonctions primes connues par les règles précédentes, et qu'on demande la fonction prime y' d'une fonction y composée de p, c], r, ...; on considérera que, x devenant x-^i, y devient en général
y -^ y'i -+- '— 1 (n° 9). Ov p, q, r, ... deviennent en même temps
p -hp'i -h. ... q -h q'i + . . . , 7' -h r' i -h . . . , et ainsi des autres. Il n'y aura donc qu'à substituer ces valeurs dans l'expression de j, développer les termes suivant les puissances de i, et le coefficient de j sera la valeur cliercliée de r'.
x\insi, SI y = ap + bq -\- ..., a, b, ... étant des coefficients constants quelconques, on aura sur-le-champ
y' = ap' -h bq' -^ . . . .
Si y = apq, la quantité pq deviendra
donc
y' z= ap'q + (iq'p-
Si j = apqr, on trouvera de la même manière
y' = ap' qr -+■ aq' pr + ai' pq,
et ainsi de suite.
Si y= -^5 la quantité - deviendra ^ q ^ q
/> + ip' +^^ .
névcloppanl le dénominateur en série par les règles connues, on aura
(lone
16. Soit, en général, j =/(/>); en regardant /(/j) comme une fonction primitive de/?, sa fonction prime sera/'(/)), en sorte que, p devenant p-\-o (j'emploie ici la quantité indéterminée o à la place de la (juantité indéterminée /, qui désignera toujours l'augmentation indéterminée de x),f{p) deviendra (n° 8)
f[p] + of'[p) + ^f"[p)^.,..
Or, p étant une fonction de x, lorsque x devient x-\-i, p devient
donc, faisant o=^ip'-\ — p" -h. . ., f{p) deviendra, par la substitution de X + ih la place de jt".
fip) + ip'f'ip) + '-[p'^np) +/'r(/')] +• • •;
par conséquent, on aura
d'où résulte ce principe, que la fonction prime d'une fonction d'une quantité qui est elle-même une fonction d'une autre quantité est égale au produit des fonctions primes des deux fonctions.
Supposons maintenant que j soit une fonction ûe p et de (j, que nous
désignerons par/(y?, q); il s'agit donc de substituer x-hi a la place
de X dans les deux fonctions/) et q. Or il est visible que l'on doit avoir
le même résultat, soit qu'on fasse ces deux substitutions à la fois ou
