IX

successivement, puisque les quantités p et q sont regardées comme indépendantes.

En substituant d'abord x-hi kla place de oc dans la fonction p, la fonction /(/?, ^), regardée seulement comme fonction de p, devient

j'écris simplement /'(/?) pour désigner la fonction prime (\ef{p,q), prise relativement à/) seul, q étant regardée comme constante. Substituons maintenant x -\- i pour x dans q; la fonction /(/?, q) deviendra pareillement

oùf'{q) représente la fonction prime (\ef{p, q), prise relativement à q seul, p étant regardée comme constante. Quant au terme ip'/'{p), il est visible que, par cette nouvelle substitution, il se trouverait augmenté de termes multipliés par i-, r', — Ainsi les deux premiers termes de la série provenant du développement dc/{p,q), après la substitution (le x-i- i pour x, seront simplement

fip,q)-^'\.p'f'{p)-^q'f'[q)l

de sorte qu'on aura

Si j était une fonction de p, q, r, représentée par/ijy, q, r), on trouverait de la même manière

et ainsi de suite.

D'où il est aisé de tirer cette conclusion générale, que la fonction prime d'une fonction composée de différentes fonctions particulières sera la somme des fonctions primes relatives à cbacune de ces mêmes fonctions, considérées séparément et indépendamment l'une de l'autre.

Ce principe, combiné avec le précédent, suffira pour trouver les fonctions primes de toutes sortes de fonctions, ainsi que les autres fonctions dérivées des ordres supérieurs.

Ainsi, (Ml supposant X une fonction quelconque de x, les fonctions primes de

seront

X"', IX, rt , sinX, cosX,

mX"'-'X', ^, a^\'\a, X' cosX, -X'sinX,

et leurs fonctions secondes

mX'"-'X"+m(m-i)X'«-2X'2, ^ ^, a^X" \a + a^X'^\a]\ X"cosX-X'-^sinX, - X" sinX - X'-^ cosX, .... et ainsi de suite.

17. Mais la fonction y pourrait n'être donnée que par une équation quelconque entre x et y.

Représentons cette équation, en général, par ¥{x,y) = o; on aura, par la résolution, y égal à une certaine fonction de x, qu'on pourra désigner par/(a^), de sorte que, en substituant /(ct) pour j dans la fonction Y{x,y), elle deviendra ¥[x,/[x)], fonction de x seul que nous désignerons par <p(j7). Cette fonction cp(a;) devra donc être nulle quelle que soit la valeur de x. Donc elle le sera aussi en mettant ^+ i pour a;, quelle que soit la valeur de /. Mais, par cette substitution, o{x) devient

donc, pour que i puisse être une quantité quelconque, il faudra que l'on ait séparément les équations

dont la première est l'équation donnée , la seconde est sa fonction prime, la troisième sa fonction seconde, etc.

Or, puisque (^{x) — ¥[x, /{x)] =¥{x, y), (p'(x) sera la fonction prime de ¥{x,y), y étant regardée comme fonction de x, et, par le principe établi dans le numéro précédent, cette fonction prime sera

exprimée par Y'{x) +j'F'(7), en désignant par Y'i-r) et ¥'{y) les fonctions primes de la fonction Y{cc,y), prises relativement à x seul et à y seul.

Donc l'équation F(j:-, }') = o donnera

r'{x)-hx' F'[x) = o, d'où l'on tire

Ayant ainsi la valeur de la l'onction prime y' en fonction de x et v, on aura celle de j" en prenant la fonction prime de cette fonction, et ainsi de suite.

Il résulte de l'analyse précédente ce principe :

Lorsqu'on a une équation quelconque entre deux variables a-, y, l'équation subsistera encore entre les fonctions primes de tous ses termes, ainsi qu'entre leurs fonctions secondes, etc. Nous appellerons ces nouvelles équations équations dérivées, et en particulier équations primes, équations secondes, etc., celles qu'on obtient en prenant les fonctions primes, secondes, etc.

Si l'équation ne contenait qu'une seule variable qui dût demeurer indéterminée, ce qui a lieu dans les équations identiques, le même principe subsisterait, et l'on aurait également une équation prime, une équation seconde, etc., qui seraient aussi identiques.

Les Leçons III, IV, V, VI et VII sur le Calcul des fonctions renferment un commentaire sur les principaux points que nous venons de traiter dans ce Cbapitre; on y trouvera des développements utiles et importants et des applications nouvelles.