CHAPITRE Vil

IIE L\ LOI DES FORCES VIVES DANS LE MOUVEMENT D UN SYSTÈME ANIMÉ PAU DES FORCES ACCÉLÉRATRICES QUELCONQUES. DE LA CONSERVATION DES FORCES VIVES DANS LE CHOC DES CORPS ÉLASTIQUES. DE LA PERTE DE CES FORCES DANS LE CHOC DES CORPS DURS, OU EN GÉNÉRAL DANS LES CHANGEMENTS BRUSQUES QUE LE SYSTÈME PEUT ÉPROUVER. DE LA SOMME DES FORCES VIVES DANS LES SITUA- TIONS DE l'équilibre. REMARQUES GÉNÉRALES SUR l'ÉCONOMIE DE CES FORCES DANS LES MACHINES.

39. En général, quelles que soient les conditioas du système, les équations de condition

donneront toujours, en prenant les fonctions primes relativement au temps /, dont les variables x,y, . . . sont des fonctions,

x' F'(x) +/ F'(jr) + -' F'(z) -i- r F'(^) +-/î'F'(-/,) + Ç' F'(Ç) +. . . = o, x' ^'{x) -4-/ a)'(j) -~ z' $'(z) + i'^'i^] -+- r,'^'[-n) + i^' $'(?)+... = o,

et ainsi de suite.

Or, si le système n'éprouve que l'action des forces qui résultent de ces conditions, les équations du mouvement des corps M, N, . . . seront, comme dans le n° 36, de la forme

Mx"

= nF

Mj"

= nF

Mz"

= nF'

-hW^'

Donc, multipliant ces équations respectivement par ûc\ y', z', i', r,', Z', ... et les ajoutant ensemble, on aura celle-ci,

qui est entièrement indépendante des conditions du système, et qui par conséquent aura lieu en général, quelles que puissent être la disposition et la liaison mutuelle des corps qui le composent. Cette équation a pour équation primitive

dans laquelle H est une constante arbitraire. Or nous avons vu ( n° 11) que sjx'- -+-y'^ + z'- exprime la vitesse du corps qui décrit la courbe dont x, r, z sont les coordonnées; donc, si l'on nomme u la vitesse du corps M, (^ celle du corps N, et ainsi des autres, on aura

et l'équation précédente deviendra

M?/2 + Nf2 -+-... = H.

Dans la fameuse dispute sur l'estimation des forces, on a appelé force vive d'un corps en mouvement le produit de sa masse et du carré de sa vitesse. Ainsi, en conservant cette dénomination, on voit, par l'équation qu'on vient de trouver, que la somme des forces vives de tous les corps d'un système est constante, lorsque ces corps n'éprouvent d'autres actions que celles qui résultent de leur liaison, et, en général, de toutes les conditions qui peuvent être exprimées par des équations entre les différentes coordonnées du corps, sans que le temps y entre. C'est dans cette loi que consiste le principe de la conservation des forces vives.

40. Si les corps agissaient, de plus, les uns sur les autres par des forces d'attraction ou de répulsion quelconques, ces forces donneraient, à la vérité, des termes de la même forme 11 /'(^), n/'(j), ... dans les