TROISIEME PARTIE.- CHVPITRF. VIT. 40t

valeurs des quantités Ma?", M/',..., en prenant pour la fonction

f[x,y,...) la distance \J[x — ï,y^ -^[y — fi)- -^[z — t,)- entre deux corps, et pour II la force absolue que ces corps exercent l'un sur l'autre (n°25); mais il est évident que la condition

n'aurait pas lieu pour cette fonction comme pour celles qui résultent des conditions du système. Ainsi ces termes subsisteront dans l'équation indépendante des conditions du système, et l'on aura, par conséquent,

M [x'x" + y' y" + z'z" ) + N (IT 4- ■/;'■/;" +%'^")-V-...

= ïi[x'f'[x) +yf'[r) + z'f'[z) + Xf'il) + •/)'/'(•/'] + ?'/'(?)] + • ■ -

où l'on voit que la quantité x' f\x) -\-y' f\y) 4- . . . est la fonction prime relativement à t de la fonction/;. r.j, z,^, . . .), qui est ici

sl[x-lY^[y--nY^[z-X,]

Donc, en général, si l'on désigne parjo la distance rectiligne entre les corps M et N, et par P la force absolue d'attraction ou de répulsion que ces corps exercent l'un sur l'autre, si l'on désigne de même par q la distance rectiligne entre deux autres corps du système et par Q la force d'attraction ou de répulsion entre ces corps, et ainsi de suite, en prenant les quantités P, Q, ... positivement lorsqu'elles tendent ;i augmenter les distances />, q, . . . , et négativement lorsqu'elles tendent a diminuer ces distances, et qu'on nomme u, v, ... les vitesses des corps M, N, .. ., l'équation précédente deviendra

M uu' + N l'i'' -I- . . . = Vp' '\-Qq'-h. . . ,

qui est également indépendante des conditions du système, mais qui l'enferme, comme l'on voit, les forces P, Q, . . . d'attraction ou de répulsion mutuelle.

41. Enfin, si les corps étaient en même temps attirés vers des centres fixes ou repoussés de ces centres, la même équation aurait IX. 5i

encore lieu on prenant, par exemple, p pour la distance du corps M à un centre fixe et P pour la force qui vient de ce centre; et ainsi des autres. Car on peut déduire le cas des forces tendantes à des centres fixes de celui des actions mutuelles des corps, en supposant que quelques-uns de ces corps deviennent immobiles, ce qui a lieu lorsque leurs masses sont infinies; mais, sans avoir recours à cette démonstration indirecte, il n'y a qu'à considérer que, si le corps M, par exemple, éprouve l'action d'une force P qui part d'un centre fixe dont la position soit déterminée par les coordonnées /, m, n et dont la distance à M soitjy, il en résultera (n°25), dans les valeurs des quantités Ma;", My, M:;", les termes respectifs

et par conséquent, dans la valeur de 'W{x x" + y'y" -^ z z"), ou de Mwa',

les termes

Mais/? étant = va^— 0^ "^ (j ~ ^)' "+~ {" ~~' ")'» ^" ^ , {x — l]x' -^- [y — m)y'-t- (2 — n)-3'

donc les termes dont il s'agit se réduisent à Vp' . D'où l'on conclura, en général, que l'équation

M««'-i-Ncf' + . . . = P/)'-hQ(jr' + . . .

a lieu pour un système quelconque de corps disposés ou liés entre eux d'une manière quelconque, et qui s'attirent ou se repoussent récipro- (juement, ou sont attirés vers des centres fixes ou repousses par des forces quelconques P, Q, . . . , en nommant p, q, ... les distances mutuelles des corps qui s'attirent ou se repoussent, ou leurs distances aux centres fixes d'attraction ou de répulsion, et prenant les quantités P, Q, ... positivement ou négativement selon que ces forces seront