TROISIÈME PARTIE. - CHAPITRE VII. kOZ

répulsives ou attractives, parce que les premières tendent à augmenter les distances/?, g, ..., et les secondes à les diminuer.

42. Si les forces P, Q, . . . sont respectivement des fonctions quelconques des distances/?, q, ... suivant lesquelles elles agissent, ce qu'on peut toujours supposer lorsque ces forces sont indépendantes les unes des autres, ou, en général, si les quantités P, Q, . . . sont des fonctions Ac p, g, ... telles que la quantité P//+Qy'+... soit h» fonction prime d'une fonction de p, g, . . . , que nous désignerons par ¥{p, g, ...), l'équation primitive de l'équation ci-dessus sera

K étant une constante arbitraire; et, dans ce cas, les forces P, Q, ..., qui agissent suivant les lignes p, g, . . . , seront représentées par les

fonctions primes F'(/>), F'(^),

Soient a, b, ... les valeurs de p, g, . . . dans un instant donné, et U, V, ... les vitesses de M, N, . . . dans cet instant; l'équation précédente, rapportée à ce même instant, donnera

MU2+NV2 + ... = K + 2F(a, b, ...),

d'où l'on tire

K = MU2+NV2 + ...-2F(fl, /j, ...);

donc, substituant cette valeur, on aura l'équation générale

M«2-.^]Vi'2 + ...=rMU2|p^-V2H-...-u 2F(/>, q, ...) — iV{a,b, ...).

Cette équation renferme le principe de la conservation des forces vives pris dans toute sa généralité. Elle fait voir que la force vive totale du système ne dépend que des forces actives qui animent les corps et de la position des corps relativement aux centres de ces forces, de sorte que, si dans deux instants les corps se trouvent à mêmes distances de ces centres, la somme de leurs forces vives sera aussi la même.

J'entends ^SlY forces actives les forces que les corps exercent les uns

sur les autres, et dont l'effet est de changer leurs distances ou leurs positions respectives, comme les forces intrinsèques d'attraction ou de répulsion, les forces des ressorts placés entre les corps, etc. Au contraire, ] âpj^eWe forces passives les forces de résistance produites par les pressions des corps, les tensions des fils ou des verges, etc., et dont l'effet est de maintenir les corps dans une même position respective et d'empêcher que les conditions du système ne soient violées. Ces forces passives ne contribuent en rien, comme l'on voit, à la production de la force vive; les forces actives seules l'augmentent ou la diminuent, comme elles feraient si les corps, étant mus librement, partaient des mêmes points et arrivaient aux mêmes points, en décrivant des lignes quelconques.

43. Nous avons vu que la loi du mouvement du centre de gravité et celle des aires sont indépendantes de l'action mutuelle des corps, quelle que soit cette action, soit qu'elle vienne des forces passives ou actives; ainsi, à cet égard, ces deux lois ont une plus grande étendue que la loi d(! la conservation des forces vives, qui n'est indépendante que de l'action des forces passives. Il résulte de là que cette dernière loi ne peut pas subsister, comme les deux premières, dans le cas où, par l'action mutuelle des corps ou par la rencontre d'obstacles, il survient des changements brusques dans leurs mouvements, parce (jue ces changements sont ou peuvent toujours être regardés comme l'effet des forces actives de ressorts placés entre les corps ou entre eux et les obstacles, et qui, en se contractant ou se dilatant très-peu, maintiennent la loi de continuité dans la variation des mouvements. La force vive des corps qui subissent ainsi des changements brusques reçoit, à chacun de ces changements, une augmentation ou une diminution égale à la force vive que l'action de ces ressoi'ts produirait si l(>s coi'ps n'étaient soumis (|u'à cette action.

Ainsi, si les corps M, N, . . . viennent à se rencontrer ou à rencontrer des obstacles, de manière qu'il en résulte des changements brusques dans leurs mouvements, on pourra appliquer à ces corps, pendant leur