TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE Vil

action, quelque courte qu'elle puisse être, la formule du numéro précédent, de sorte qu'en nommant U, V, ... leurs vitesses au commencement de l'action, u,^, ... les vitesses à la fin de l'action, désignant de plus par a, b, ... les valeurs des distances p, q, ... au commencement et par a, p, ... leurs valeurs à la fin de la même action, on aura

MU2+NV2 + ...-MH2 N(^2-...=:2F(a, />,...)- 2F(a, (3, ...),

ce qui montre que la différence des forces vives au commencement et à la fin de l'action sera

OÙ l'on remarcjuera que, quoique les quantités a, p, . . . diffèrent trèspeu des quantités a, h, ... , la différence des fonctions semblables

F(a, b, . ..) et f[y., p, . . .) peut avoir une valeur finie quelconque.

44. Comme ces fonctions sont inconnues, on ne pourrait pas déterminer, de cette manière, la variation de la force vive; mais dans les cas particuliers on pourra la trouver d'après les conditions du problème.

Lorsque des corps se cboquent, soit immédiatement, soit par l'entremise de leviers ou de machines quelconques, si les corps sont parfaitement élastiques, la compression et la restitution se font suivant la même loi, et l'action est censée durer jusqu'à ce que les corps soient revenus, par la restitution du ressort, à la même position respective où la compression a commencé. On aura donc pour ce cas, dans l'équation

précédente,

et par consé(juent

d'où il suit que la force vive sera la même avant et après le choc: ce qu'on sait depuis longtemps, mais dont on n'avait pas, (|ue je sache, une démonstration simple et générale.

Au contraire, dans le choc des corps durs, l'action n'est censée durer

que jusqu'à ce (jue les corps aient acquis des vitesses en vertu desquelles ils ne se nuisent plus et qui, par conséquent, ne produisent point d'action entre eux. Ainsi, l'effet de ces vitesses sur l'action mutuelle des corps étant nul, si on leur imprimait ces mêmes vitesses avant ou pendant l'action, elle serait la même en vertu des vitesses composées de celles-ci et des vitesses propres des corps. Donc elle serait encore la même si les vitesses imprimées étaient égales et directement contraires à celles dont nous parlons; car l'action ne varierait pas, en supposant qu'on détruisît ces vitesses imprimées par des vitesses opposées.

Il s'ensuit de là que, dans le choc des corps durs, les vitesses u, V, . . ., après le choc, sont telles, que l'équation

MU2+NV2 + . . .— Mi<2— Nf2. . .= 2F(r<, h, c, . . .) - ■îF(a, (3, y, . . .)

subsisterait également en composant les vitesses U, Y, ...,u,<^\ ... avec les vitesses —u, —v, ..., le second membre de cette équation demeurant le même, parce qu'il ne dépend que de la position mutuelle des corps avant et après le choc.

Si donc on nomme A la vitesse composée de U et de ~u, B la vitesse composée de V et de — c, etc., l'équation deviendra

MA2 + NB2 4-... = -2F(a, b, c, ...l-o.F(a, (3, y, ...),

puisque les vitesses composées u — u, v — v, ... sont nulles. On aura donc, pour le choc des corps durs, cette équation