CHAPITRE IV

DIGRESSION SLR LA MANIÈRE DE DÉDUIRE LES SERIES QUI EXPRIMENT LES EXPONENTIELLES, LES LOGARITHMES, LES SINUS, COSINUS ET LES ARCS DE SIMPLES CONSIDÉRATIONS ALGÉBRIQUES.

18. Les séries qui représentent les quantités exponentielles et logarithmiques, ainsi que les sinus et les cosinus, ont été trouvées d'abord par le Calcul différentiel. Halley est, je crois, le premier qui ait imaginé de déduire celles des exponentielles et des logarithmes de la formule de Newton pour les puissances du binôme [Transactions philosophiques, n° 216), en employant la considération de l'infini ou de l'infiniment petit. Cette méthode a été suivie par Euler et étendue aux sinus et cosinus dans les Chapitres VII et VIII du premier Tome de son Introductio in Analjsin, etc. Mais, quoiqu'elle puisse être admise en Analyse, on ne saurait disconvenir qu'elle n'a pas l'évidence ni même la rigueur qu'on doit désirer dans les éléments d'une science, et nous croyons qu'on nous saura gré de nous écarter ici un moment de notre marche pour donner une démonstration des mêmes formules, fondée aussi uniquement sur celle du binôme, mais dégagée de toute considération de l'infini. Nous donnerons même à ces formules une généralisation qui servira à rendre les séries aussi convergentes qu'on voudra dans tous les cas.

Considérons l'équation générale

dans laquelle x est le logarithme de y pour la base «; mettons à la place de a, I -^ a — I, ce qui est la même chose, et ensuite à la place

(le (i -t-a — i)-^, [(i -Fa— i)"]", ce qui est encore la même chose que «^ ; on aura

r = [(n-a — ij«J",

n étant une quantité quelconque qui disparaît d'elle-même dans la valeur de y.

Je développe maintenant le binôme (i -f- a — i)" dans la série

et j'ordonne les termes suivant les puissances de n\ j'aurai

les coefficients A, B, ... étant donnés eii a, et il est aisé de voir qu'on aura d'abord

cette quantité A étant la même que celle du n" 11 ; à l'égard des autres coefficients, nous n'aurons pas besoin de les chercher, puisqu'ils disparaîtront du calcul, comme on va le voir. Faisant cette substitution, nous aurons

et, développant à la manière du binôme, il viendra

r—i-\ — (A/t 4- 1J«2 + . . .) ^ ; — l (A«-4-Bn2 + ...)2

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