in

savoir, en effaçant les puissances de n communes aux numérateurs et aux dénominateurs,

:^- = I 4- ^ ( A -f- En -H- . . . ) + ■^^^-^^-— ^ ( A -t- B/i + . . . )2 x[x — n){x — -y.n] . . „ , „

Maintenant, comme la quantité n est arbitraire et doit, par la nature même de la fonction y, disparaître de l'expression de cette fonction, il faudra que tous les termes multipliés par chaque puissance de n se détruisent mutuellement. Ne tenant donc aucun compte de ces termes, (|ui doivent disparaître d'eux-mêmes quel que soit n, on aura simplement

comme plus haut (n° 11 ).

19. Cherchons de la même manière la valeur de x en y. Pour cela, nous mettrons l'équation a'^^v sous la forme

qui est identique avec la précédente, et où n est encore une quantité (|ucIconque à volonté, qui ne doit point entrer dans la valeur de ce en j.

Développant les deux membres à la manière du binôme, on aura

, nxinx — i) , ,„ nxinx — i]{nx — i] ,

1 + nx(« — i) H !^ — '- (« — i)2h ^- —!^ '-[a — i)3-+-. . .

savoir, en effaçant l'unité de part et d'autre et divisant par n,

, . x[nx — i). ,„ xinx — i]{nx — 1) , ,,

x[a-i] + -^^^ '-[a-iY-+^ ^ /(a,)3 + ...

, ^ n — I, ,„ [n — Ain — 2),

Or, n étant, comme nous l'avons déjà dit, une quantité entièrement arbitraire et qui ne doit pas entrer dans l'expression de x en j, il faudra que les termes multipliés par les différentes puissances de n se détruisent d'eux-mêmes, en sorte qu'il ne reste que ceux où n n'entrera pas. On aura ainsi, en ne tenant compte que des termes sans n, l'équa-

tion suivante, dans laquelle j'emploie, pour abréger, la quantité A déterminée ci-dessus,

d'où l'on tire

(r--i' -^fr-i^-^-Vr — il'-...

X = log j = ~ — — — ,

formule connue et qui s'accorde avec celle du n° 13, A étant égal à la.

20. Mais cette formule n'est convergente que lorsque le nombre j, dont elle donne le logarithme, est peu différent de l'unité. Aussi n'estelle d'aucune utilité pour le calcul des logarithmes ordinaires. Voici un moyen de la rendre convergente pour tous les nombres.

Il est évident que l'équation fondamentale j^a"^ peut se changer en celle-ci j'":=a"'^, m étant un nombre quelconque entier ou fractionnaire. Employant donc cette dernière formule à la place de l'autre, il n'y aura qu'à changer dans celle-ci y an y'" et x en mx. On aura ainsi, en général,

iogr

r'"— I) — i(r'" — ii-' + ^ir'^

OÙ l'on pourra prendre pour m une fraction --, telle que \/y soit toujours un nombre aussi peu différent de l'unité qu'on voudra.

Supposons, ce qui est toujours possible, que la racine r de y ne contienne que l'unité avant la virgule, et qu'après la virgule il y ait s zéros; alors, si l'on s'ari-ête à 2s décimales, il est visible que le terme {y'" — i)^ et à plus forte raison les termes suivants ne donneront rien, de sorte qu'on aura simplement, dans ce cas.

De la même manière, on aura aussi, sous les mêmes conditions,

A := Irt =: r(v'a — i)>

et par consé(jiient

C'est par cette formule (jue Briggs a calculé les premiers logarillimes. Il avait remarqué qu'en faisant des extractions successives de racines carrées d'un nombre quelconque, si l'on s'arrête, dans une de ces extractions, à deux fois autant de décimales qu'il y aura de zéros à la suite de l'unité, lorsqu'il n'y a plus que l'unité avant la virgule, la partie décimale de cette racine se trouve toujours la moitié de celle de la racine précédente, en sorte que ces parties décimales ont entre elles le même rapport que les logarithmes des racines mêmes; c'est ce qui résulte évidemment des formules précédentes.

Ainsi, en prenant r = 2®", on trouve, pour a =: 10,

de sorte que

- F^= = — ' — / Q ^r. g ==0,434-29 44^19 03251...= - ==^ = loge.

/■ \«i 19971742081 -25505-27 't T ^ -r-T :7 A la

Si maintenant on veut avoir, par exemple, le logarithme de 3, on fera y =3, et, employant de même (jo extractions de racines carrées, on trouvera

et de là

, vv— I q528c)4-264o7458Q37.. . . , ^„

logr= ;r^= = ' ^—7 — T] — F^-5 =0,4771^ 12547 1900^'

°"^ i^a — i 1997I74'?-o8i25jo527.. . '^'' -rj v

Cette méthode est, comme l'on voit, très-laborieuse, par le grand nombre d'extractions de racines qu'elle demande pour avoir un résultat IX. 7

en plusieurs décimales; mais la formule générale que nous avons donnée ci-dessus pour l'expression de a? en j sert à la simplifier et à la compléter, car, quel que soit le nombre j, il suffira d'en extraire quelques racines carrées, jusqu'à ce qu'on parvienne à un nombre j'" ou '\ly, qui n'ait que l'unité avant la virgule; alors les puissances de y"^ — I seront des fractions d'autant plus petites qu'elles seront plus hautes, et, par conséquent, la série deviendra assez convergente ])Our qu'il suffise d'en prendre un petit nombre de termes.

21. On peut appliquer la méthode précédente à la recherche des séries qui expriment le sinus par l'arc ou l'arc par le sinus, et pour lesquelles on emploie aussi (comme l'a fait Euler dans le même Ouvrage) la considération de l'inffniment petit et de l'infini.

En effet, en partant de la formule connue pour la multiplication

des angles

cos/i,r -h sinnxy/ — I =: (cosor 4- sin^y — i )",

on a réciproquement

cos^ 4- sirijry — i ;= [costix 4- sinnjT y — ' }",

où le nombre n peut être quelconque.

Maintenant, quelle que soit l'expression de s\nx en série de l'arc x, elle ne peut être que de la forme kx -t- Ba?^ h- . . . , car, puisque le sinus devient nul lorsque l'arc est nul, il est visible que cette expression ne

doit contenir aucun terme sans x. Or, comme cosa — y'i — ûvi^x, on aura

COS:l' = \Jl — A'-'^- — "i-A-hx-^ — . . . r=r I h

Les coefficients A, B, ... sont censés indépendants de l'arc x; par conséquent, ils seront les mêmes pour tout autre arc. Substituant donc /îicpour X, on aura pareillement

«2 K-xsmnx =^nkx -\- n^hx"^ -\- . . . et coshx = i— y-....

Donc l'équation précédente deviendra

cosx -I- sin;r\ -I = i + n\x\ —i + /i- ( By — i ■ 1^- + . . .

Développons le second membre à la manière du binôme, en faisant, pour abréger,

X = Ax\ — I + n f By — I \ X- -h . . .;

on aura

cos:r-4- sinxi— 1 = 1 + - wX^ + • — — inX]--+- ^ — , raXV» + ...

Comme les valeurs de sina? et de cos.-c doivent être indépendantes du nombre arbitraire n, il s'ensuit que tou^ les termes du second membre qui se trouveront multipliés par une même puissance de n doivent se détruire d'eux-mêmes. Ne tenant donc compte que des termes où n ne se trouvera pas après le développement, il est aisé de voir que la quantité X se réduira à son premier terme Xx\l — i, et que

les coefficients des puissances de X se réduiront à i, -' • — q? ■'•■> de sorte que l'on aura simplement

ces

X + sinoTy — 1 ^i + A^y/— 1+ -(A^y'— i)^H ^ (A^ry — i )^ + . . .

En effectuant les puissances de V— J» et comparant les parties réelles des deux membres ensemble et les imaginaires ensemble, on aura

s\nx =: Ax

cos.r= I ■ -+- —T.— 7 •

22. Pour avoir de même la valeur de a: en sinus et cosinus de ce, il n'y aura qu'à reprendre la formule fondamentale

cosn^ -t- sin/iary — ' = (cos.r + sin^y'—' j">

dans laquelle on mettra, à la place de sin«,r et cos/Kr, leurs valeurs

en série nXœ-^ n-Bx--h '- h. . . , et l'on développera la

puissance n du second membre. On aura ainsi

I + ftÂ^y. — I -4- rt- I By- — i ~ ] X- -h . . .

r sin^ n(n — i) fs\nx — — \

cos"x I -+- n v'— ' -I ^ V — 1

[ cosa; ' 1 Vcos^- /

donc

smxcosjc

=: langJT, cosx = V 1 — biii-x;

cos"a;= 1 — sin2j;-!=i sui-^r -i ^ ^ — ^sin*^ — . . . .

Substituant ces valeurs, la quantité n ne se trouvera plus que dans les coefficients, et, ordonnant les termes suivant les puissances de cette quantité, le second membre deviendra de cette forme i + nP4- n-Q -+-..., en faisant, pour abrégei",

P — tang^v^—i — ^{lang^V^—i)''-i-^(lang^V — ')' — •••— -rsin-jc— !, sin^ x— ^ sin«.^•- Q= ^(lang^V - 1 )" -h . . . ;

effaçant l'unité des deux membres et divisant toute l'équation par n, elle deviendra

Aory — 1 -4-n(By/— 1 \ x- -^ . . . — V -\- iiQ -h . . . ,

et, comme elle doit avoir lieu indépendamment de la quantité n, qui doit demeurer indéterminée, il faudra que les termes qui contiennent les différentes puissances de n se détruisent d'eux-mêmes, ce qui la réduira d'abord à A^v^— 1 =V, savoir, en développant les puissances de tang^v^— i,

A^V"— I = (langj: — j tang^x -'.- i lang^ x ~ • • • ) V^~' -+-Tlang'-jf — { iang''^ + | lang'^a; — . . . — tSui-x — Tsin''x

Comme on peut prendre le radical \/— i en plus ou en moins, il csl visible qu'en le prenant successivement en plus et en moins, el soustrayant les deux équations l'une de l'autre, on aura, après avoir divisé

par 2A\ — I ,

lança- — 4^l.nniz^.r -l- -rl:ing':r — ...

Au reste, il est visible que l'équation trouvée au n° 21,

cos.r 4- sin X y' — I = I 4- A .r y' — I H — ( A .r y/— i )" H ( A ar V' —')' + ••• »

se réduit directement à celle-ci

COS.X- + sinxy/— I = a>^\^^',

parla formule du n° il, en prenant pour « une quantité dépendante de A, comme nous l'avons déterminée dans ce même endroit, c'est-àdire en sorte que a = e\ e étant un nombre donné qui est la base des logarithmes hyperboliques.

De cette formule on tire tout de suite, en prenant le radical en plus et ensuite en moins, les expressions connues de sinx, cos.r en exponentielles imaginaires,

sin.r^^ =1 1 cos.r = ,

et, passant des exponentielles aux logarithmes,

x\ai^—i = ] (cos.r + sin.rv/— i ) = I cos.r + l(i -i- langary/— i ),

ou bien, en prenant successivement le radical en plus et en moins, et soustrayant une équation de l'autre,

I I T ' + lang^v/ — I

\a 2y— 1 I — UingJJy — I

d'où l'on peut déduire les séries trouvées ci-dessus en employant les développements des exponentielles et des logarithmes exposés dans les n"^ 18 et 19.

Mais il y a ici une remarque importante à faire : c'est que, dans les formules que nous venons de trouver, la quantité A, ainsi que a, étant arbitraire, le système de logarithmes peut être pris à volonté, au lieu que, dans les formules ordinaires relatives aux arcs de cercle, le module ^ est égal à l'unité, ce qui donne pour la base le nombre e, dont

le logarithme hyperbolique est l'unité. Ainsi celles-ci ne sont qu'un cas particulier de celles que nous avons trouvées, mais cette particularisation est nécessaire pour qu'elles soient applicables au cercle, comme nous Talions démontrer.

23. Tout se réduit à prouver que dans l'expression de sin^ en série le premier terme doit être simplement x, au lieu que nous l'avons supposé en général Kx (n° 21). En employant la considération des infiniment petits, cela est évident, car on voit que, dans le cercle, le sinus, à mesure qu'il diminue, s'approche de plus en plus de l'arc, jusqu'à s'y confondre dans l'infiniment petit. Ainsi, en supposant l'arc X infiniment petit, on a ?\nx = x', par conséquent, A = i. ■ Mais, comme nous avons cherché à rendre notre analyse indépendante de la considération des infiniment petits, nous devons aussi en affranchir la démonstration du point dont il s'agit.

Pour cela, nous ne supposerons que le principe, établi par Archimède, que le sinus, qui est la moitié de la corde de l'arc double, est moindre que l'arc auquel il répond, et que la tangente est plus grande que ce même arc. Nous aurons ainsi

or, comme

on aura

sinji:<l^ et langar>>jr;

s\nx sina:

lango: =

cos^ v'i-sin2^

^Xy ei de la sin^>.

Employant donc l'expression de sin^c en série trouvée dans le n° 21,

il Aiudra que l'on ait, quelque petit que soit l'arc x,

kx — H r. ■ ■ g — . . .<^X, >-