vi

Donc aussi, en divisant par x.

Comme

— fil- vi + ^ >''

il est clair que

et en même temps on voit que

car la différence est -'i ainsi la quantité qui est plus grande que

-^=^=r sera à plus forte raison plus grande que i — x'-, de sorte qu'on pourra réduire l'espèce d'équation d'inégalité ci-dessus à cette forme

As^ï A.5X*

k-x^ Or, en prenant x tel que — 5- soit <i, il est visible que la série

A 5- H sera convergente et <A, mais >>A 5-? parce

qu'en ajoutant ensemble le second et le troisième terme, le quatrième et le cinquième, et ainsi de suite, on n'aura que des quantités toutes négatives, et qu'au contraire, en ajoutant le troisième et le quatrième, le cinquième et le sixième, etc., on n'aura que des quantités toutes

56 THÉOIUE DES FONCTIONS.

positives. Donc, oc étant supposé < -^.-5 on aura, à plus forte raison,

par conséquent,

A > 1 — ^2 Qi <ii-\ '—,

ce qui devant avoir lieu quelque petite que soit la valeur de .r, il s'ensuil que l'on aura nécessairement A = i. En effet, si A— i +/, i étant une quantité quelconque très-petite positive, il n'y aurait qu'à

prendre x- tel (jue — 0- <C '» et alors la condition de A<i4-^ — :-

n'aurait plus lieu. De même, si A= i —i, il n'y aurait qu'à prendre .r-<< /, et l'autre condition A> i — x^ serait en défaut. Donc on a nécessairement A = I dans le cercle ; par conséquent, a = e, nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité (n° 12), ce qui fait rentrer nos formules dans les formules connues pour les fonctions circulaires.