CHAPITRE V

nr DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS LORSQU ON DONNE A LA VARIABLE UNE VALEUR DETERMINEE. CAS DANS LESQUELS LA RÈGLE GÉNÉRALE EST EN DÉFAUT. DES VALEURS DES FRACTIONS DONT LE NUMÉRATEUR ET LE DÉNOMINATEUR s'ÉVA- NOUISSENT EN MÊME TEMPS. DES CAS SINGULIERS OU LE DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION NE PROCÈDE PAS SUIVANT LES PUISSANCES POSITIVES ET ENTIÈRES DE l'accroissement DE LA VARIABLE.

24. Les méthodes que nous venons de donner pour le développement de la fonction f[x -+- i) supposent que ce développement est de la forme

il est donc nécessaire, avant d'aller plus loin, d'examiner quand et comment cette forme pourrait être en défaut.

Nous avons déjà démontré plus haut (n° 2) que cela ne peut arriver que lorsqu'on donnera à x une valeur déterminée telle qu'elle fasse disparaître dans la fonction /(^) et dans toutes ses dérivées quelques radicaux. Or un radical ne peut disparaître dans une fonction que de deux manières, ou parce que la quantité qui multiplie le radical devient nulle, ou parce que le radical lui-même devient nul.

Dans le premier cas, il est clair que, le radical disparaissant dans f{x), il pourra ne pas disparaître dans/'(^),/"(^), . . . , ou bien que, disparaissant à la fois dans/(ir),/'(^), il ne disparaîtra pas dans/"(a7), f"'{x), . . ., et ainsi du reste, parce que, le radical acquérant des coefficients différents dans les fonctions dérivées, ces coefficients ne peuvent pas devenir tous nuls par la même valeur supposée de la variable. IX. 8

Dans le second cas, au contraire, il est évident que le radical disparaîtra nécessairement dans toutes les fonctions/(a;),/'(x),/"(a.'), ... à l'infini, puisque c'est la quantité radicale elle-même qui est supposée s'évanouir pour une valeur donnée de la variable x. ^lais, l'évanouissement du radical ne pouvant plus avoir lieu dans la fonction /(.r -4- i), où i est une quantité indéterminée et indépendante de x, il s'ensuit que la série

f[x]+if[x] + -f"[x]-^

qui représente le développement de cette fonction, deviendra fautive par l'absence du radical qu'elle doit contenir.

Donc cette série sera légitime dans le premier cas et ne le sera pas dans le second.

25. Soient j =/{cc), et par conséquent , en prenant les fonctions prime, seconde, etc., y' =^/'{x), y" ==/"{x), — Supposons que, pour une valeur donnée de ce, il disparaisse dans/(a;) un radical, lequel ne disparaisse pas dans/'(a;); il est clair que, pour cette valeur de x, la fonction f'{x) devra avoir un plus grand nombre de valeurs différentes que la fonction /(a;), à raison du radical qui se trouve dans/'(a?) et qui a disparu ùims/{x), d'où il s'ensuit que la valeur de y' ne pourra pas être donnée par une fonction de x et /qui ne contiendrait pas ce radical. Cependant, si dans l'équation j =/(^) on détruit ce même radical par l'élévation aux puissances, et que l'équation résultante soit représentée par Y{x, y) = o, son équation prime donnera généralement, comme nous l'avons vu au n° 17,

Donc cette expression sera en défaut dans le cas où l'on donnerait h x la valeur en question, ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que les quantités ¥'{x) et F'(j) seront l'une et l'autre nulles à la fois. Ainsi, dans le cas dont il s'agit, l'expression de j' deviendra égale à zéro divisé par

zéro, et réciproquement, lorsque cela arrivera, ce sera une marque que la valeur correspondante de ce aura détruit dans/(a7) un radical sans le détruire dans/'(x).

Pour avoir dans ce cas la valeur de y', il ne suffira donc pas de s'ai-rêter à l'équation prime de Y{cc,r) = o, laquelle, étant

aura lieu d'elle-même, indépendamment de la valeur de y'; mais il laudra passer à l'équation seconde, qu'on trouvera par les mêmes rèeles de cette forme

r" F'(r) + j'- F"ir) + ^-r' f"(;-) (^) + f'» = «.

en désignant par F"( j) et ¥"{cc) les fonctions primes de F'(j) et F'(a7), prises la première relativement à y seul et la seconde relativement à £c seul, c'est-à-dire les fonctions secondes de F(j, x) prises relativement aux mêmes variables isolées, et par ¥"{y){a;) la fonction prime de F'(j) prise relativement à ic ou la fonction prime de F'(ic) prise relativement h y (ces deux fonctions étant la même chose, comme il est facile de s'en convaincre et comme nous le démontrerons plus bas, lorsque nous traiterons des fonctions de plusieurs variables), c'est-àdire la fonction seconde de F(y, x) prise relativement à y et à ce.

Cette équation donne généralement la valeur de y"; mais, dans le cas proposé, la quantité F'(j) devenant nulle, le terme qui contient y" disparaîtra et l'équation restante sera une équation du second degré en y', par laquelle on déterminera la valeur dey', qui sera par conséquent double.