PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE V. Gl

ii'tMitrorons dans aucun détail sur ce point pour ne pas trop nous écarter de notre sujet.

11 . Supposons en second lieu que la même valeur de x qui l'ail disparaître un radical dans /(a;) le fasse disparaître aussi dans/'(ir), sans le faire disparaître néanmoins dans/"(a;); alors les valeurs correspondantes Aef{x) et de /'(a?) seront en même nombre, mais celles de f"{x) seront en nombre plus grand. Si donc on détruit ce radical dans l'équation v=/(.x), la valeur de y" qu'on en déduira se trouvera égale

à -» et il faudra passer aux équations dérivées d'un ordre supérieur

pour avoir la valeur de y".

Soit

on aura

1 \jx — b

lix — a] [x — a]-

y" = 1 \Jx — 6

V^-6 /^[x-bf faisant ar = a, on a

y=io, j' = o et y"^=:7.^x — b = i\Ja — 6. Mais, si l'on réduit l'équation proposée à cette forme rationnelle

y- = {x — aY{x — b), on en tirera l'équation prime

iyy' = ^[x-aY{x-b) + {x~ay', laquelle donne, lorsque x = a,

à cause de y = o, à moins qu'en substituant la valeur de j on ne divise le tout par [x — a)- et qu'ensuite on ne fasse x — a, ce qui donnera y' = o.

Passant à l'équation seconde, on aura

Faisant x = a, on aura }'' = o, comme ci-dessus. Mais, pour avoir la valeur dey", il faudra avoir recours à l'équation tierce et même à l'équation quarte. Celle-là sera

3r>-"-^rj"'-= i8(^ - a]^+i'x{x - a) [x - b), où tous les termes disparaissent lorsque a; = a. La suivante sera

3/"- -h 4ry" + r/" = ^8{x — a) + ia(;r — b). Faisant x= a, et par conséquent y = o ety' = o, ou aura

3j"2 = 12 (^ — /;), y" = ?, y.r — b = i \Ut — 0,

comme plus haut.

Nous ne pousserons pas plus loin cette analyse, qui d'ailleurs n'a plus de difficulté d'après les principes établis. Nous nous contenterons de remarquer que, si l'on construit la courbe dont x serait l'abscisse ety=f{x) l'ordonnée, cette courbe aura ce qu'on appelle un point multiple dans l'endroit correspondant à la valeur donnée de x qui fera disparaître un radical dans /{x) sans le faire disparaître en même temps dans/'(£c), qu'elle aura un point d'attouchement si la même valeur de jc fait disparaître à la fois le radical dans/(a-) et dans/'(£c), que ce sera un point d'osculation si le radical disparaît en mênie temps dans/"(.r), et ainsi de suite. On en verra la raison lorsque nous appliquerons la théorie des fonctions à celle des courbes.

28. A l'occasion de la dllficulté que nous venons de résoudre, nous allons donner la théorie de la méthode pour trouver la valeur d'une fraction dans le cas où le numérateur et le dénominateur deviennent zéro à la fois.

Soit —^ une pareille fraction, /(.r) et ¥{x) étant des fonctions

PKEMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE V. (>]

(le r, loUc que la supposition de x — a les rende toutes les deux nulles à la lois, et (ju'on demande la valeur de cette fraction lorsque a- = «.

fix] On fera )'='^T^^ — ti et par conséquent y F(j-) —/(a?). En supposant

.v = a, cette équation se vérifie d'elle-nième, indépendamment de la valeur dey, qui demeure par conséquent indéterminée; ainsi elle ne peut servir dans cet état à la détermination de j lorsque x = a. Mais,- (Ml prenant l'équation prime, on aura

/F(;r)-f-rF'(x)=/'(^);

la supposition de .r = a fait disparaître le ternie y' F(a7), et le reste de

l'équation donne j= "L, • S'il arrivait que les fonctions primes/'(^ .

F'(a7) devinssent aussi nulles par la même supposition, alors on trouverait par le même principe, en substituant dans l'équation ci-dessus

f\x), F(a;) pour/(j7), F(^), cette nouvelle expression dcj, 7 = -:.„^' ,

et ainsi de suite. On pourrait aussi la déduire directement de la même équation prime, en considérant que, comme elle se vérifie de nouveau d'elle-même, elle ne peut pas servir non plus à la détermination de j, (jue par conséquent il sera nécessaire de passer à l'équation seconde,

laquelle sera

X"V[x) + 2j' ï'[x) + jl'"(;i;) =/"(.r).

(^omme la supposition de x=^a rend nulles les fonctions F(^) et F'(a;), les termes qui contiennent j' et j" s'en iront d'eux-mêmes, et les termes

f"[x] restants donneront y— t;^^ — :■> comme plus haut.

Il n'est pas à craindre que les ^o\\c\\on?,f{x),f'[x),f"[x), ..., V{x), V{x), F"(.r), ... à l'infini puissent devenir nulles en même temps par la supposition de a; = a, comme quelques géomètres paraissent le supposer, car, puisque

f{x + i) =f[x] + if[x) + Ç/"(x) + . . . , en faisant x=^a, on aurait/(a + 1) = o, quel que soit i, ce qui est

impossible; il en serait de même de Y{x-hi). Mais il peut arriver que ces fonctions deviennent infinies par la même supposition de x = a,

fix) f'ix] ce qui rendra également les fractions f-^ — [i ■',, ,i ••• indéterminées :

la solution de cette difficulté dépend de l'examen du second cas du 11° 24, dont nous allons nous occuper.

29. Ce cas a lieu lorsque la supposition de a; = a fait disparaître dans/(^) un radical en le rendant nul, auquel cas elle le fera disparaître de même dans les fonctions dérivées; mais, ce radical restant dans la fonctiony'(ir + «), il doit rester aussi dans le développement de cette fonction; par conséquent, ne pouvant affecter la valeur de x, il faudra qu'il affecte 1'/, d'où il suit que ce développement doit contenir nécessairement des puissances irrationnelles de i. Il est clair, en effet, que, si/(^) contient la quantité "y/X, X étant une fonction de x qui devient nulle lorsque x^^a, en mettant x + i à la place de x, X deviendra

et, faisant 37 = a, on aura simplement /X'h — X" + ... pour la valeur de X, de sorte que y X deviendra

donc la fonction /(x + ?j contiendra, dans le cas de x — ci, le radical "{.i, (|ui devra par conséquent se trouver dans son développement suivant les puissances de i. Voyons donc ce que donnera alors le développement fautif

f[x) + if'[x)+'^f"[x)+....

Pour cela, j'observe que les fonctions/'(a:H-i), /"(^ + /), ... sont également les fonctions primes, secondes, etc., de la fonction/(a: h- i), soit qu'on les prenne relativement à x, soit qu'on les prenne relative-

PRKMIÈRE PARTIE. - CIIAriTRE Y. G5

nient à /, ce qui est évident, puisque, en augmentant soit a?, soit î' d'une même quantité quelconque, on a le même accroissement de la quantité cc-\-i. D'où il suit que l'on aura également les valeurs de/'{oc),/"ix), .... quel que soit x, en prenant les fonctions primes, secondes, etc., do /(.r + /) relativement à i, et faisant ensuite i— o.

Or, si l'on suppose que le développement de/(^ + i) doive contenir, lorsque cc = a, un terme affecté de i'", tel que Ai'", A étant une fonction de a et 7n n'étant pas un nombre entier positif, en prenant les fonctions primes, secondes, etc., relativement à i, il faudra que les développements de/'{iv -+- 'i),f"{x -h i), . . . contiennent les termes mki"'~\ m' m— i)ki"'~-, ... (n° 10). Donc, faisant « = 0, on en conclura que les fonctions/(ir),/'(a7),y'"(a;), ..., lorsque ir = a, contiendront respectivement les termes Ao"', mAo'"'"', m[m — i)x\o'"~-,

Si m est un nombre quelconque négatif, il est clair que tous ses termes seront infinis.

Si/n est un nombre positif non entier, soit n le nombre entier immédiatement plus grand que m, il est visible que le terme

m[in — I ) . . . ( m — n + i)h. o'"-«

sera infini, ainsi que tous les termes suivants, et que tous les précédents seront nuls.

Donc, en général, la fonction /"(a?) et toutes les suivantes /""^'(a?), f"^-[x), ... à l'infini (n,n-\-i, ... étant des indices) seront infinies, n étant le nombre entier positil immédiatement plus grand que l'exposant m.