Dans l'exemple du n" 27, où

on voit que la supposition de a: = è détruit le radical dans y et doit, par conséquent, le détruire aussi dans les fonctions dérivées j',j", .... Donc le développement

de/(.x-f-i), en supposant

y:=zf[x) ^=[x — a)\Jx — i), sera fautif dans le cas de x = b. En effet, on aura, dans ce cas,

ce étant égal à ù, ol l'on iroinera de même

J" = », j"'=cc, ....

Donc le développenient dont il s'agit devra contenir alors un terme de la forme /"', m étant entre o et i.

Soit, en effet, x = b^i',f[x) deviendra [b — a-\-i)\li, de sorte que le vrai développement de cette fonction sera

32. C'est aussi de la même manière qu'on résoudra la difficulté proposée à la fin du n° 28 sur les fractions qui demeureraient toujours indéterminées, en prenant à l'infini les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur. Nous y avons vu que cela ne saurait arriver que dans le cas où la même valeur de x rendrait ces fonctions successives infinies. Il faudra donc alors supposer .x = fl + i [a étant la valeur de x qui rend ces fonctions infinies) dans l'expression générale de la fraction, réduire ensuite cette expression en série suivant les puissances ascendantes de i, et le premier terme de la série, en faisant /= o, donnera la valeur cherchée de la fraction pour le cas de a? = «.

Ainsi, si l'on avait la fraction

\jx — \la + \lx — a

qui devient -lorsque x = a, et dont les fonctions primes, secondes, etc.,

du numérateur et du dénominateur deviennent toutes infinies par la même valeur de x, en y mettant a h- i au lieu de x, et réduisant le numérateur et le dénominateur en série, elle deviendra

sjia lasji

de sorte qu'en faisant i~o on aura — ^- pour la valeur cherchée de

la fraction lorsque x = a.

En efTel, si, suivant la méthode du n° 28, on prend les fonctions primes du numérateur et du dénominateur, on aura

— =H ■ et »

quantités qui deviennent infinies lorsque x = a; mais, en les multi-

pliant l'une et l'autre par 2\/x — a, la nouvelle fraction sera

\jx

\jx -+- a

laquelle, en faisant x=:ia, devient -=> comme plus haut.

sjin

Nous avons donc résolu les difTicultés qui peuvent se rencontrer dans

le développement de/(a;-i-/), et, quoique nous n'ayons considéré que

des fonctions algébriques, il n'est pas difficile d'étendre nos solutions

aux fonctions transcendantes. Comme ces difficultés n'ont lieu que pour

des valeurs particulières de x, il est clair qu'elles n'influent en rien

sur la théorie des fonctions dérivées /'(a;), /"(a?), ...; mais il était

nécessaire de les examiner et de donner les moyens de les levei-, pour

ne laisser aucun nuage sur cette théorie. [Foi> aussi la Leçon YIII du

Calcul des fonctions (*).]

(*) OEm'res de Lagra/igc, t. X.