CHAPITRE VJ

RESOLUTION GENERALE DES FONCTIONS EN SERIES. DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES TERMINÉES ET COMPOSÉES d'aUTANT DE TERMES Qu'ON VOUDRA. MOYEN d'exprimer LES RESTES DEPUIS UN TERME QUELCONQUE PROPOSÉ. THÉO- RÈME NOUVEAU SUR CES SÉRIES.

33. Nous avons vu jusqu'ici comment on peut trouver directement tous les termes du développement de la fonction /(a: 4-i) suivant les puissances de i; on peut, de la même manière, développer une fonction quelconque suivant les puissances ascendantes d'une des variables contenues dans la fonction.

En effet, si l'on reprend la formule

/(x + 0 =/(^) + if'i^) + 'lf"[x) + ^/"V) +• • •'

puisque ^ et /sont deux quantités indéterminées, on y peut substituer X — i -d la place de a;, ce qui donnera

f{x) =.f[x - i] + if'[x - i] + ^f"ix - 0 +. . . .

De plus, on pourra mettre xz à la place de i, et l'on aura

x^ zf[x] ^=f[x — xz) + xzf'[x — xz) -\ f"[^ — xz) -\- . . . ,

où z est une quantité arbitraire quelconque.

Ici/(a;) représente, comme l'on voit, une fonction quelconque de x, el/'[x — xz), /"{x — xz), ... représentent les fonctions primes, se-

coudes, etc., de/(a?), en y substituant ir(i ~ z) à la place de x. Mais, quoique /{oc) ne représente qu'une fonction de x relativement à ses fonctions dérivées, il est clair qu'elle peut représenter en général une fonction quelconque de x et d'autres quantités quelconques, pourvu que ces quantités y soient regardées comme constantes dans la formation des fonctions dérivées /'(^r), /"(a?),

Si dans la formule précédente on faits = o, l'équation devient identique à/(a7) =zf{x), et, si l'on fait ^ = i , la quantité x — xz s'évanouit, de sorte que, si l'on dénote simplement par/,/',/", ... les valeurs des îonct\ons/{x),/'{x),/"[x), ... lorsque x = o, on aura

Ainsi, lorsque/(a:;) sera une fonction donnée de plusieurs variables x,y, ..., il n'y aura qu'à chercber par les règles générales les fonctions dérivées par rapport à x seul et y faire ensuite a? = o; on aura tous les termes du développement de la fonction suivant les puissances ascendantes de x, et il est clair que les valeurs des quantités/',/", ... seront des fonctions de j, ... sans x, toutes dérivées de la fonction primitive suivant une loi dépendante de la manière dont la quantité x entrera dans cette fonction.

34. On pourrait trouver ce développement d'une manière plus simple en supposant tout de suite

A, B, C, . . . étant des quantités indépendantes de x. Pour les déterminer, on considérera que cette équation, devant être identique, doit avoir lieu pour toutes les valeurs de .r. Donc : i°en faisant a7 = o, on aura/=A; 2" en prenant les fonctions primes de tous ses termes (n°MO, 17), on aura encore l'équation identique

f'{x) = B + 2C.r + 3Djc2+. .., OÙ, faisant de nouveau jc = o, on aura/' = B; 3" en prenant de nou-

voau les fonctions primes, on aura

où, faisant derechef .r = o, on aura/"= 2C. Continuant de la même manière, on trouvera

/"'=a.3D, /'v.-=o..3.4E, ..., d'où l'on tire

ce qui donnera, par la substitution, la même série pour/(.r) que cidessus. Mais cette méthode est moins directe que la précédente, et elle suppose déjà la théorie des fonctions dérivées; elle est d'ailleurs moins rigoureuse, en ce qu'elle suppose de plus que la somme de tous les termes affectés de x devient nulle lorsque x=^o, quoique les coefficients de ces termes augmentent à l'infini dans les équations dérivées; mais le grand avantage de la méthode précédente consiste en ce qu'elle donne le moyen d'arrêter le développement de la série à tel terme que l'on voudra et de juger de la valeur du reste de la série.

Ce problème, l'un des plus importants de la théorie des séries, n'a pas encore été résolu d'une manière générale. On pourrait, à la vérité, le résoudre pour chaque fonction en particulier par les méthodes exposées dans le Chapitre premier; mais il serait impossible de parvenir par cette voie à une solution générale pour une fonction quelconque.

35. Reprenons donc la formule générale trouvée ci-dessus (n° 33),

x-zf[x) ^^/[x — xz] + xz f'[x — xz) -\ f"[^ — xz] + . . . ,

et supposons qu'on veuille s'arrêter au premier iermc f{x — xz). Comme tous les termes suivants sont multipliés par x, nous supposerons

f[x]=f[x-xz]+x^.

P étant regardé comme une fonction de s qui devra être nulle lorsque :; = o, puisqu'alors/(a: — xz) devient/(a;).

Comme cette équation doit avoir lieu quelle que soit la valeur de z, qui est arbitraire, son équation prime relativement à :; aura donc lieu aussi (n" 17). On prendra donc les fonctions primes relativement à cette variable, et il est facile de voir que la fonction prime du terme f[x — xz) sera — xf'[x —xz), car on a démontré (n° 16) que, si y=f[p), p étant une fonction de x, on a

ainsi, en rapportant les fonctions dérivées à la variable z et faisant /) = £r — xz, on aui'a

p' = — X ei y' ^ — xf'[p) = — xf'[x — xz).

Donc, à cause que/(.r) ne renferme point z, l'équation prime relative à z de l'équation ci-dessus sera

o ^ — xf'[x — xz]-^ xV , P' étant la fonction prime de P relativement à z, d'où l'on tire

On aura donc la valeur de P en cherchant une fonction de :; dont la fonction prime soit égale "^f'i^x — xz) et qui, de plus, soit telle qu'elle devienne nulle lorsque s = o. Cette valeur de P ainsi trouvée, si l'on V fait i; = I, on aura

Supposons, en second lieu,

f[x) =f[x — xz] + xzf'[x — xz] -\- x-Q, Q étant une fonction de z, qui devra être nulle, comme l'on voit, lorsque

En prenant, comme ci-dessus, les fonctions primes relativement à :;, on aura cette équation prime

o= — xf'[x — xz) ■+- xf'[x — xz] — x-zf"[x — xz] + X-Q',