PREMIERE PARTIE.- CHAPITRE M

où les fonctions désignées par/'. /" sont les fonctions primes et secondes de /{x) relativement à .v et dans lesquelles on a mis ensuite a; — xz pour .r. On tire de là, en edaçant ce qui se détruit,

Q' = zf"[x-xz),

de sorte qu'on aura la valeur de Q en cherchant une fonction de z dont la fonction prime ait la valeur qu'on vient de trouver pour Q' et qui ait la condition de devenir nulle lorsque :; == o. Si ensuite on fait

; = I , on aura

f[x)=f+xf' + x^-Q.

Soit, en troisième lieu,

f{x) ■=f[x — xz)-h xzf'[x — xz) H- ■ f"[x — xz) + x^^.

Il étant une fonction de :; qui s'évanouisse lorsque s = o. On trouvera, en prenant les fonctions primes relativement à s et elFaçant les termes qui se détruisent mutuellement,

^'=^-^J"',x-xz],

la fonction représentée par/" étant la fonction tierce de/(j;) relativement à X transformée par la substitution àe x — xz à la place de X.

Il faudra donc, pour avoir la valeur de R, trouver une fonction primitive de z dont la fonction prime soit la valeur précédente de R' et qui soit telle qu'elle s'évanouisse lorsque s = o. Celte fonction étant trouvée, on aura, en faisant s = i ,

f[x)^f+xf'+'^f"+xH\,

et ainsi de suite.

En continuant ainsi, on aura la formule du n" 33 :

f[x) =f+ xf'+ ^f"-^ .^/"' + • • • • IX. lo

7i THEORIE DES FONCTIONS.

Mais l'analyse précédente a l'avantage de donner la manière d'avoir les j'estes ^P, x-Q, a^^, ... de la série lorsqu'on veut l'interrompre à son premier, deuxième, troisième, etc., terme.

36. Voilà le problème résolu analytiquement; mais, comme les quantités P, Q, R, ... ne sont connues que par leurs fonctions primes, il reste encore à remonter de ces fonctions aux fonctions primitives, ce qui peut être souvent fort difficile et même impossible.

Cependant, si l'on connaissait la quantité P, on en pourrait déduire toutes les autres par les simples fonctions dérivées, car la comparaison des valeurs dc/(a;) donne

P = ^f'{x — xz] + xQ,

et l'on a irou\é /' {x — xz) = V ; donc, substituant, on aura

d'où l'on tire

On a ensuite

et l'on a trouvé donc

d'où l'on tire

On trouvera de même

zf"{x-xz]^Q'; Q^^Q' + ^R, Q~UQ'

g^R-izR'

et ainsi de suite. Si l'on fait P -- zp, Q -- z-q, R == z"- r, . . ., on aura