sjx ^x\Jx \6x'-^x comme dans le môme numéro cité

37. On peut aussi tirer directement de la formule du n" 3 f[x-\-i)=f{x]-hi?

la loi de la série et l'expression des restes, en prenant alternativement

les fonctions dérivées par rapport à a: et à i-, nous marquerons ces dernières par un trait placé au bas.

On a d'abord, par les fonctions dérivées relatives à x,

ensuite, par les fonctions dérivées relatives à /,

car il est visible que, relativement à i, la dérivée de/(if + i) est la même que relativement à x. On aura donc

/'(^)-+-/P' = P + iP,,

d'où l'on tire

Faisons Q = P' — P ; on aura, en substituant la valeur de P,

f[x + i]=f[x]-v-if[x] + i^Q.

Prenons de nouveau les fonctions dérivées par rapport à r et par rapport à /; on aura

f'{x -h /) ^f'[x] -h if"[x) + i^-q' et f'[x -•. /) =^f'[x] + 2/Q + iHl ;

donc

d'où

Donc, si l'on fait 11= -^ ^) on aura, en substituant.

f{x + /) =f[x] -t- if[x) + 'lf"[x) + in\.

On trouvera de même, en faisant S -- — r^ — '-•>

f[x + /) ^f[x) + if'[x] + '^f"[x) + ~f"'[x) + '-'S, et ainsi de suite.

Si l'on fait, par exemple, /(a?) = -, ce qui donne

on aura

donc

ensuite

et de là

x'->[x-hi] x-[x -h i)- x-[x -h l'j- ■

on trouvera de même

et ainsi de suite, ce qui redonnera la série déjà trouvée.

Mais, pour notre objet, il importe moins de connaître les restes exacts de la série développée jusqu'à un terme quelconque que d'avoir des limites de ces restes pour pouvoir apprécier l'erreur qu'on peut commettre en ne tenant compte que de quelques-uns des premiers termes.