Soit maintenant proposée l'équation
^^= \x -+- Bx^ -\- x^,
dans laquelle on demande l'expression de ce en y. Cette expression peut s'obtenir par la formule connue pour la résolution des équations du troisième degré. Voici comment on y peut parvenir par la théorie des fonctions.
En prenant les fonctions primes et secondes, on aura
y ^ A + iBx -\- 3x^, ^-"=28 + 6^; si donc je forme la quantité
X + [m -{- nx]/ + [p -\- qx -h rx-)j-",
où m, n, p, q, r sont des coefficients arbitraires, j'aurai un quadrinôme IX. i6
qui contiendra les puissances a?, ce- et a;% et je pourrai faire évanouir les termes multipliés par chacune de ces puissances; j'aurai ainsi une équation du second ordre de la forme
jr + ('« + nx)y -h [p 4- qx -t- rx-]y"=: C,
où c sera une quantité constante; et cette équation renfermera encore deux coefficients indéterminés.
Je pourrai donc encore faire en sorte qu'étant multipliée par 2j' elle ait une équation primitive; car, pour cela, il suffira de faire q= im, r:=n, et l'équation primitive sera
y--i- [p -{- imx + nx-]y'^=^ aCj- + a,
a étant une constante arbitraire qu'on déterminera, comme nous l'avons dit, en supposant a? = o et mettant pour y et j' leurs valeurs tirées de l'équation proposée. Or elle donne, dans ce cas, j' = o, j'' = A; donc, faisant ces substitutions dans l'équation précédente, elle donnera pA- = a.
Ainsi l'on aura cette équation en y du premier ordre
X'-i- [p + inix + nx-)y'- = iCy -\- pK-,
OÙ X ne monte qu'au second degré, circonstance sans laquelle on n'aurait rien gagné pour la détermination de x en j.
Mais, avant d'aller plus loin, il faut satisfaire aux conditions nécessaires pour que la quantité
y-\- [m + nx)y' + [p + imx + nx-)y'',
après la substitution des valeurs de j, y', y", devienne égale à une constante C. Cette substitution donne la quantité
i\x -\-hx'-{- x^ -V- [m + nx] [k-\- ihx +Zx'^] + [p-^imx -H /ix-)('2B + dx);
développant, ordonnant les termes suivant les puissances de x, et éga-
lant à C le terme sans x et les autres à zéro, on aura
mA + a/>B = C, (i 4- «) A + 6mB + 6/?=: o, (i -f- 4n) B + i5/n = o, i + gn =: o, d'où l'on tire
I B B2-4A ^ s>.B3 — qAB
« =: ) m = , p= ^— et C = — •
Retenons, pour plus de simplicité, les quantités/? et C, et substituons celles de m et n dans l'équation ci-dessus; elle deviendra, en tirant la
valeur de y',
Il faut maintenant en déduire l'équation primitive en x etj; mais, pour éviter les imaginaires, on doit distinguer deux cas, l'un où les radicaux sont réels, l'autre où ils sont imaginaires; car, puisque toute valeur réelle de x donne pour j et y' des valeurs réelles, il est visible que les deux radicaux de l'équation précédente seront réels ou imaginaires ensemble.
Supposons donc, en premier lieu, que sjph} -^ i^y — y- soit une quantité réelle; il faudra donc que /?A^ + C- X/ — C)-; par conséquent, on pourra supposer
ce qui donnera
v//? A2 -H 2 Cj — y- = \Jp\--hC^ cosz,
et, prenant les fonctions primes.
substituant ces valeurs dans l'équation précédente, elle deviendra, en divisant par 3,
I2k THÉORIE DES FONCTIONS,
dont l'équation primitive peut être mise sous la forme
3c étant une constante arbitraire qu'il faudra déterminer en sorte que 37 = o donne y=^o, conformément à la proposée. Soit a la valeur de :; lorsque j = o; on aura donc les deux équations
— C = v^pA^+C^sina, et
par lesquelles on déterminera d'abord a, ensuite a. Après quoi on déterminera z par l'équation
smz = — •■^— --,
y/pA-î+C-
et l'on aura
x^-- + \^gp+—sin(^^ + aj,
et, comme au même sinus de z répond aussi l'angle z augmenté d'une ou de deux circonférences, on aura les trois valeurs de oc en prenant |)our z ces trois valeurs z, z-i-c, z-h2c, c dénotant la circonférence du cercle.
C'est le cas qu'on appelle irréductible et où les trois racines sont réelles.
Supposons, en second lieu, que le radical \lpA^ -{- 2Cy — y''^ soit imaginaire; il n'y aura qu'à multiplier le numérateur et le dénominateur de l'expression de y' par sj— i , et l'on aura
, 3y/— p\'^ — aCf -t- j^'
/ "^ii
quantité toute réelle.
Ici j'observe que, si l'on Aiit
Y = — C + j + s/— />^^' — 2Cj + j^
et qu'on prenne les fonctions primes, en regardant toujours jcomnn; fonction de x, on aura
Y'=/Y(-/>A2-aCj + r-) \
de sorte qu'on pourra réduire l'équation précédente à cette forme
dont les deux membres ont pour fonctions primitives IX et ^lY. On aura donc cette équation primitive
lX = ilY + li,
b étant une constante arbitraire, et, passant des logarithmes aux
nombres, on aura
Pour déterminer b, on fera de nouveau x=^ o et j=:o. Or X devient
rr -h v^— 9/3, et Y devient — C + \/— /^A- ; donc on aura
Maintenant, ayant la valeur de X en x, il est aisé d'en tirer x\ car, en carrant l'équation
on en déduira sur-le-champ
par conséquent, en mettant pour X la valeur trouvée en j, savoir Z'vY, on aura
Cette expression ne peut donner, comme l'on voit, qu'une seule valeur réelle de x\ c'est le cas où l'équation a deux racines imaginaires.
Si l'on fait B = o, les formules qu'on vient de trouver dans les deux cas se simplifient beaucoup et se réduisent aux formules connues pour la résolution des équations du troisième degré, privées du second terme; mais nous ne nous arrêterons pas davantage sur ce problème, qui appartient proprement à l'Algèbre, et que nous n'avons traité ici qu'en passant et pour montrer, par différentes applications, la manière d'employer l'algorithme des fonctions.
