Prenons pour dernier exemple l'équation du premier ordre
, v'A + bj--+- C;^---l- l)j^ + Ej* V A + Bx -+- Cx--\- D.r^ + Ex^
En la divisant par le radical en y, on aurait une équation où les variables X et / seraient séparées; mais il serait impossible d'obtenir ainsi l'équation primitive, parce que les deux membres ne sont point réductibles en particulier à des fonctions primes.
Voici néanmoins comment on y peut parvenir par le moyen des fonctions dérivées.
Je suppose d'abord que x et /soient fonctions d'une autre variable t;
il faudra, pour cela, substituer — à la place de j' (n° 50); oc' ety' seront alors les fonctions primes de oc et y, regardées comme fonctions de t. En supposant que x soit une fonction quelconque de t, l'équation donnera pour j une fonction déterminée de t; ainsi je puis supposer que X soit une telle fonction de t que l'on ait l'équation
x' = v'A + Ux -+- Cx^ -h Dx^ -h Ex* ;
l'équation précédente, où l'on a mis ^, pour j', donnera pareillement
j' = y/A + IJj' + (J^-- + J)J^ -h Ej».
Qu'on fasse disparaître les radicaux dans ces deux équations, qu'ensuite on prenne les fonctions primes, on aura, après avoir divisé l'une para;', l'autre par j',
ix"= B -f- iCx + 3D^24 4E^3^ ly" —^-\-i C J -I- 3 D j2 + -; E;-3 ,
Faisons x+y^=p, x—y=^q, ce qui donne
les deux équations précédentes, ajoutées et retranchées, donneront
De plus, comme p'q' = x"^ — y'-, si l'on substitue les valeurs de a:' et de j' tirées des premières équations, on aura
p'q' = ^q + Cpq ^^[■ip'^q + q^] + ^^[p^q + pq^]. Maintenant je fais celte combinaison :
qp"-p'q'=^lq'-^^pq';
ifiultipliant les deux membres par -^? ils deviennent les fonctions
PL
f tion primitive du premier ordre
primes de -^ et de D/) + E/?-, de sorte que j'aurai d'abord cette équa-
^ = Dy> + £/?--+- a,
où a est une constante arbitraire.
Pour la détenniner, soit m la valeur dey lorsque x = o; on aura dans ce cas, par les équations ci-dessus,
x' = v'A, j'= v^A -+■ Hm -h Cm'--+- Dm^ -{- E/n* ;
je fais cette dernière quantité égale à n, pour abréger.
Ainsi, puisque /J = .a? +y, q=^x — y, p' =^x' -\-y' , ^' = a?' — y', on aura, lorsque a=; o,
p = ni, q^~m, p'z=^\-{-n, q' = \/ A — n.
Faisant ces substitutions dans l'équation qu'on vient de trouver, on aura
in-
— Dm — Em2,
OÙ l'on voit que, puisque m est une quantité indéterminée, la constante a demeure aussi indéterminée; mais les déterminations précédentes seraient utiles si, par d'autres combinaisons, on trouvait de nouvelles équations primitives avec des constantes arbitraires. Nous avons donc l'équation
p'=:q^a-h Dp + Ep^,
qui, quoique du premier ordre, peut néanmoins donner tout de suite l'équation primitive en a? et j de la proposée, puisque la valeur de/?', qui est x' -h-y', est déjà connue en x et y. En effet, substituant les valeurs de p, q et//, on aura
Va -+- B;c -t- dx- + D.r3 + Ex^ -f- y/A + Bj -I- ily- + hy^ + Ey''
(^-j)v'a + D{^-hj) -^E[x^yY\
OÙ a est la constante arbitraire.
Cette équation en a? et j est, comme l'on voit, sous une forme assez simple, et la méthode par laquelle nous y sommes parvenus est fort remarquable; mais cette équation n'est pas la seule qu'on puisse obtenir par les formules que nous venons de trouver.
