IX

En effet, si l'on substitue la valeur précédente de p' dans l'équation trouvée plus haut, qui donne la valeur Aç, p'q' , on en tirera

va -i- D/> + E;;-

Ici, remettant pour j9 et q leurs valeurs cc-i-yetx—y, et pour g' sa valeur a;'— y = Vï-+-^3^+^^^^^^-^ï^^^

on aura une nouvelle équation en a; et j avec la constante arbitraire a, qui sera également l'équation primitive de la proposée, mais qui ne sera qu'une transformée de l'équation précédente.

68. L'équation du premier ordre dont nous venons de trouver l'équation primitive peut toujours, par des transformations convenables, se réduire à la forme

__, v/A -4- H cosz

\/A + B cosu

z étant ici une fonction de u. Comme celte équation, traitée directement de la même manière, est susceptible d'une analyse beaucoup plus simple et plus élégante, j'ai cru qu'on ne serait pas fâché de la trouver ici.

On regardera m et s comme fonctions d'une autre variable t, et, après

z' avoir substitué, en conséquence, — à la place de z' (n° 50), on fera ces

deux équations séparées

m'= y/A + B cosM, z' = y/A H- B ces s ;

après les avoir carrées, on en prendra les fonctions primes; on aura, en divisant lune par u' et l'autre par ::', ces deux-ci du second ordre :

2«"= — Bsiii», 2z" -=^ — Bs'mz.

Soient maintenant z + u^ 2p, z — u~ 9.q; les deux équations pré-

cédentes, ajoutées et retranchées, deviendront par les théorèmes

connus,

op" =1 — B sin^ Qosq, icj" = — B cosp sinq.

Il est d'ahord visible que, si l'on ajoute ces deux équations après avoir multiplié la première par </' et la seconde par p', le premier membre deviendra la fonction prime de 2p'g', et le second la fonction prime de — Bsin/^sin.y, de sorte qu'on aura d'abord cette équation primitive du premier ordre,

2p'q' = — B sinp s\nq -h a,

a étant la constante arbitraire.

Pour la déterminer, supposons que ii = o donne z = m; on aura donc dans ce cas

«'= Va + B, z' = v/A + Bcos/??, p = q^~'

donc

■ip'q

z'- — II'- B(cosm —

sinpsinq

. „ m I — ces m

de sorte que l'on aura

a = "ip'q' + B sin/? ■àmq := o.

On aura donc simplement l'équation

'2p'q'= — Bsin/jsin^,

d'où l'on peut conclure que cette équation primitive, ne renfermant point de constante arbitraire, doit être comprise dans les équations du premier ordre en z et u, d'où nous sommes partis. En effet, ces équations donnent, en substituant les valeurs de p et g,

ip q = =z - [cosz — cosh) = — b sinpsniq.

Divisons maintenant par cette équation du premier ordre les deux équations ci-dessus du second enp et q; on aura ces deux-ci,

p" C0S7 q" cosp

p'q' ^~ s\i\q p'q' smp

dont la première étant multipliée par q' et la seconde par/)' donneront ces équations primitives

\p' z=.\?\nq ~{-\a, \q' ^=\s\np -^\b,

ou bien, en passant des logarithmes aux nombres,

p'^^as'mq, q' ^ bsinp,

a ci b étant des constantes arbitraires qu'on déterminera par les mêmes suppositions que ci-dessus, d'où l'on aura

v/A -\- B cosm + v/A -t- B

. m 2 sin —

v/A -1- B cosm — s/a -4- B

asm —

Les deux équations qu'on vient de trouver pourraient donner chacune une équation primitive en u et z par la substitution des valeurs de p, q, p', q' ; on aurait ainsi

y/A 4- B cosz + v'A + BeosH = 2a sin

\/A-+- Bcosz — v^A+ BcosM= 2 6 sin

Comme les valeurs de a et & renferment l'indéterminée m, chacune de ces valeurs pourra être regardée aussi comme indéterminée en particulier; ainsi, dans chacune de ces équations à part, on pourra regarder a ou 6 comme constante arbitraire; mais, si l'on voulait faire une combinaison quelconque de ces équations, il faudrait employer les valeurs