PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE XI. i:W
do rt et Z> trouvées ci-dessus, et alors la quantité m serait la seule constante arbitraire.
Ces dernières équations étant compliquées de radicaux, il sera à propos de chercher encore une autre équation primitive d'après les mêmes équations du premier ordre
])' =^ asxnq, q'=: b sinp; or, eu divisant l'une par l'autre, on a
p' n sin(7
q' ~~ b sin//
et, multipliant en croix,
bp' sinp = aq' slnq,
d'où l'on tire tout de suite l'équation primitive
b cosp = a cosq -+- c,
c étant une nouvelle constante arbitraire qu'il faudra déterminer comme ci-dessus. Or, en faisant m =: o et z = m, on a
donc l'équation précédente donnera
i/A + B CCS — m r>.
c = (b — a] CCS— =
sm —
Substituant les valeurs de a, b, c ainsi que celles de p= et
q = ^^^ dans la même équation, et faisant les réductions des sinus
et cosinus, elle prendra cette forme très-simple
z u . z . n v/A + Bcosm m
cos - CCS — I- sin - sin ==^= — = ces — ;
c'est l'équation primitive de la proposée du premier ordre en u, z et z', et l'angle m en est la constante arbitraire.
69. On peut regarder les andes -? - et — comme les trois côtés d'un triangle sphérique; il est visible qu'alors, dans l'équation pré-
'1 i I x-^' v/A -+- R cos/?^ , • 1 1' 1
eedente, la quantité - — ^ — sera le cosinus de I angle compris
entre les côtés - et -? et par conséquent opposé au côté — > par les
formules connues de la Trigonométrie sphérique; c'est la valeur de z' lorsque a = o et z = m. Ainsi cet angle sera constant en même temps
que le côté —■> tandis que les deux autres varient.
Soit M cet angle constant; on aura donc
i/A + Bcosm - — , — z=. cosM,
d'où l'on tire
cos^M— cosm
sin-M
Si l'on fait cette substitution dans l'équation proposée en m, z et z', et
qu'on suppose, pour abréger, — ^ — |j,, elle se réduira à cette forme
sin —
I — f/^sin^i
I — y.- sin- -
dont l'équation primitive sera la relation entre les côtés -, - et — d'un triangle sphérique dans lequel [x sera le rapport des sinus des angles aux sinus des côtés opposés, rapport qu'on sait être le même pour tous les angles et les côtés opposés, de sorte que, ce rapport seul étant donné, il restera l'angle ou le côté pour arbitraire.
La considération du triangle sphérique peut servir à faire voir plus
facilement comment l'équation entre ses trois côtés satisfait à l'équation précédente du premier ordre. Cette équation étant
CCS - CCS -I- cosM siii - sin - = ces — 5 21 111
si l'on prend les fonctions primes, en regardant z comme fonction de u, et w, M comme constantes, on aura
,, z . Il . z it\ , ,, . - u z . n
cosM CCS - siii sin - ces - :; 4- cosM sui - cos - — ces - siii - = o.
Substituons à la place de cos 31 sa valeur tirée de la même équation; il viendra celle-ci :
z ni H u m z
cos - cos ■— — cos - cos - cos cos -
Tl 31 '2 o •> ^
sin- sin-
Maintenant, si dans le même triangle sphérique, dont -^ -i — sont les trois côtés et M l'angle opposé au côté —s on désigne par U et Z les
angles opposés aux côtés - et -1 on aura également
cos — = cos - cos h cos u sin - sm — 1
cos - =^ cos — cos cosZ sin - sin — ;
je donne à cosZ le signe —, parce que je suppose l'angle Z obtus.
Donc, faisant ces substitutions et divisant toute l'équation par sin — ,
elle deviendra
Z cosU— cosZ = 0, d ou s= rr-
cosU
Mais, par la propriété générale des triangles spliériques, on a
sinU sinZ sin M
. u . z . m ~^ ' ' ' sin- sin- sin —
(loue
sinU=y. sin-j sinZ=asin-5
el de là
cos L = i / 1 — p.2 sin- - j cosZ = i / i — /i^^ sin- - ;
substituant ces valeurs, on aura la même équation du premier ordre en u et z.
Si l'angle Z, que nous avons supposé obtus, était aigu, ainsi que
Taufirle U, alors, au lieu de l'équation s'= j^? on aurait celle-ci,
^ * cosU
cosZ
cosU
qui ne diffère que par le signe de z' et dont l'équation primitive sera la même.
70. Voici encore une considération essentielle sur ces sortes d'équations : l'équation du n** 68 étant mise sous cette forme
VA + Bcos^ v'A.-hBcosm
supposons que /(a) soit la fonction primitive de =-, fiz) sera
V'A-t- Bcos«
pareillement la fonction primitive de -z^= =; z étant rci^ardé
' * v'A. + Bcosz ^
comme une fonction de u dont z' est la fonction prime. Ainsi, en repassant aux fonctions primitives, on aura sur-le-cliamp cette équation
priuiilive
li étant la constante arbitraire.
Cette équation devra donc coïncider avec ré(|ualiou primitive que nous avons trouvée au n" 08, et où la constante arbitraire est //?; par conséquent, sa constante arbitraire ne pourra être qu'une fonction de
la constanto arbitraire m. Soil donc X- = F(m); on aura
Mais m est la valeur de :; lorsque a — o; supposant donc, pour plus de simplicité, ([uc la fonction /(m) soit prise de manière qu'elle soit nulle lorsque m = o, il faudra qu'en faisant u = o on ait aussi z = m', par conséquent, on aura /(/n) = F(m); donc l'équation primitive qu'on vient de trouver deviendra
à laquelle satisfera cette relation algébrique :
z H . z . Il /xV + Bcosm m
ces- cos — h sin - sin — \/ 1 ^r— = ces — '
