VA + B
Ainsi, quoiqu'on ne puisse pas trouver la forme algébrique des fonctions/(w),/(z), /(m), on peut néanmoins trouver une relation algébrique entre trois quantités z, a, m, telle que l'on ait
Donc aussi, si dans l'équation précédente on change z en jr et u en z, on aura
r z . r . c /A + Becs
: — ces - + sin — sin - 1/ — \ ît
ces m m
cos — cos — h sin — sin - i / — ; ?; — = cos —
et
f[r)=f[^)+f[>nV
En changeant encore y en x, z en y, ce qui donnera
cos m m
cos- cos— + sin— sin — \/ — i — —^ — = cos — ?
X r . X . r /a + B s - cos — 4- sin — sin — 1 / — r —
on aura de même
et ainsi de suite.
On aura donc successivement
f[z)^f[u)+f[m], f[r)=fu)-^af^,n], /,^)-/i«)-+-'5/("0> •••.
et les relations entre y, u et m, entre x, u et m, etc., se tireront des relations précédentes, en éliminant d'abord z, ensuite j, etc.
On peut apj)liquer cette théorie à la forme générale de l'équation que nous avons considérée dans le n° 67 et en tirer des conclusions semblables; mais, si l'on rapporte, comme au n° 69, les formules précédentes aux triangles spliériques, il en résulte une construction élégante que voici.
Soit formé un triangle sphérique dont les trois côtés soient z, u, m (pour éviter les fractions, je substitue les quantités 2z, 2u, im à la place de z, u, m dans les formules du numéro cité) et où l'angle entre u Qim soit obtus; l'angle compris entre les deux cotés m et ^ demeurant constant, qu'on transporte alternativement la base m le long de ces mêmes côtés prolongés, de manière qu'il en résulte une suite de triangles, dont chacun ait toujours un côté commun avec le triangle précédent, et qui aient tous la même base m et l'angle commun M au sommet; alors, si les côtés qui comprennent cet angle sont successivement pour ces différents triangles u v,[. z, z et j, y ei x, ..., on aura
/{u) étant la fonction primitive de la fonction — ■. dans la-
y/i — /j(.-sin-«
quelle a= -^-^j et ainsi des autres fonctions semblables en :;, y,
Par cette construction, on peut trouver facilement les valeurs des côtés j, X, . . . des nouveaux triangles, car, en considérant les triangles isoscèles qui ont pour côtés la base m transportée alternativement, les perpendiculaires abaissées de leurs sommets sur leurs bases respectives couperont ces bases en deux parties égales, et les triangles rectangles formés par ces perpendiculaires et par les côtés qui comprennent l'angle commun M donneront tout de suite, par l'analogie
connue pour les triangles rectangles, ces équations
tang — = cosM langz,
lang = CCS M langj-.
et, si l'on fait u = m, en sorte que le premier triangle soit isoscële, avant :; pour base, on aura de plus l'équation
lang- = cosMlangm, et l'on aura alors
f[z] = -^f[ni\ f[y) = Zf[m), f[x) = if[m)
Nous remarquerons ici que cette construction est pour les triangles splîériques ce que la construction du problème 29 des questions géométriques de V Arithmétique de Newton est pour les triangles recti- I ignés.
En effet, si l'on rend rectilignes les triangles sphériques dont les côtés sont u, z, y, ... et les bases m, les équations ci -dessus deviennent
r = a/?îcosM, ^< -f- j^23 cosM, ^ + ^ = 2/cosM, ...,
et il est facile de prouver qu'alors la fonction /(m) devient proportionnelle à l'anffle dont le sinus est ? parce que s'mu et s'mm se
cbangent en u et m, de sorte que, en prenant la base m pour le sinus de l'angle opposé M, on aura, à cause de u = m,
:;=sin2M, j)-=sin3M, ....
71. Nous nous sommes un peu étendu sur les propriétés des fonctions de la forme/(M), parce que les géomètres s'en sont beaucoup
occupés et que ces fonctions se présentent dans la solution de plusieurs problèmes.
Si l'on demande, par exemple, le mouvement d'un pendule qui oscille d'une manière quelconque, et qu'on nomme r la longueur du pendule, <\ l'angle dont il est éloigné de la verticale dans un instant quelconque, a la plus gi'ande valeur de A, [i la plus petite, en prenant l'unité pour la gravité et faisant
/cOSa — COS'i/
sin?' — * ' -■
CCS [3 — cosa'
/ cos-p— cos^a
V (cosj3 + cosa)--+- sin-a'
2(cos(i + cosa) cos^ H- ces a)- -H sin-a'
on aura \\rf[u) pour l'expression du temps depuis le point le plus bas, dans laquelle on suppose, comme ci-dessus,
\j \ — f/.'- bin-M
La vitesse angulaire de rotation autour de la verticale sera exprimée par
v/a sina sin(3
y//' sin- ij; v^cos a 4- CCS [3
et sera, par conséquent, nulle lorsque le pendule passera par la verticale, dans lequel cas on a Iî = o; c'est le cas des oscillations ordinaires.
72. On peut appeler analyse directe des fonctions la manière de trouver les fonctions et les équations dérivées, parce qu'elle n'est fondée, en effet, que sur des méthodes directes, et qu'elle n'emploie que des opérations qu'on peut toujours exécuter par les règles que nous avons exposées. Mais la manière de revenir de ces fonctions et de ces équations à celles d'où elles peuvent être dérivées, et qu'on
pont regarder comme leurs primitives, forme une autre partie de l'analyse des fonctions, qu'on peut appeler analyse inverse, parce qu'elle dépend des mêmes méthodes et des mêmes règles, mais prises inversement, et qui, par cette raison, ne s'appliquent pas toujours avec la même facilité ni le même succès. Il en est de ces deux parties de l'analyse des fonctions comme de celles de l'Arithmétique et de l'Algèhre qui ont pour objet les opérations directes de la multiplication et de l'élévation aux puissances, et les opérations inverses de la division et de l'extraction des racines. Les opérations de la première espèce sont toujours possibles par les règles connues et donnent toujours des résultats exacts; celles de la seconde espèce, au contraire, ne le sont que dans certains cas, au moins rigoureusement, et, dans tous les autres, elles ne peuvent donner que des résultats approchés.
L'analyse directe des fonctions est donc renfermée dans les règles que nous avons données pour trouver les fonctions dérivées, du moins pour ce qui regarde les fonctions d'une seule variable. Quant à l'analyse inverse, elle dépend aussi des mêmes règles; mais la difficulté consiste dans leur application aux différents cas.
Nous avons indiqué les méthodes connues pour les principales formes de fonctions ou d'équations, et nous nous sommes surtout appliqué à bien établir les principes généraux de cette analyse inverse.
Comme notre dessein n'est pas d'en donner un Traité complet, nous n'ajouterons point ici d'autres détails; mais ceux qui savent le Calcul différentiel ne peuvent manquer d'apercevoir la conformité de l'analyse des fonctions avec ce Calcul, et la correspondance des analyses directes et inverses avec les deux parties de ce Calcul qu'on appelle Calculs différentiel et intégral. Ainsi, il leur sera aisé, s'ils le jugent à propos, de transporter aux fonctions les différentes méthodes d'intégration trouvées jusqu'à présent.
Ii2 THÉORIE DES FONCTIONS.
