CHAPITRE XV

rORMLLE REMARQUABLE POUR LE DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE d'uNE FONCTION QUELCONQUE DE l'iNCONNUE Z DE l'ÉQUATION Z=^X -^yf[z).

85. Cette propriété des équations primes de pouvoir servir à faire disparaître une fonction quelconque est très-utile dans beaucoup d'occasions, et surtout pour les développements en série.

Pour en donner un exemple, soit proposée l'équation

z = x-]-xf[z)

pour la détermination de -,/(-) étant une fonction quelconque de z, et supposons qu'on demande la valeur de z en série suivant les puissances de j; il est visible que les deux premiers termes seront a7+jy'(^), et si, pour trouver les termes suivants, on suppose

z ^ X -\- yf[x] + \y- + Bj3 + . . . ,

il faudra développer la fonction /(:;) suivant les puissances de j et comparer ensuite les termes pour pouvoir déterminer les valeurs de A, B, — Mais, de cette manière, on n'aurait pas la loi de ces valeurs; il y aura donc de l'avantage à employer, au lieu de l'équation proposée, une équation du premier ordre où la fonction /(:;) ne se trouve pas.

Prenant donc les équations primes suivant x et suivant r, on aura

en dénotant par/'(z) la fonction prime de/(c) relativement à z, d'où.

éliminant/'(c), on tire d'abord

^lais l'équation primitive donne

donc, substituant cette valeur dans la dernière équation, on aura cette équation du premier ordre, délivrée de /(s) :

Comme le premier terme de l'expression de c en série de y est évidemment or, nous supposerons, en général,

A, H, C, ... étant des fonctions de oc; nous aurons

2':=i + Ay-t-B'j2+C'jM-...,

A', B', ... étant les fonctions primes de A, B, ..., regardées comme fonctions de or; ensuite

;, = A-i- 2Bj+3Cj2+4Dj3 + ...;

donc on aura, en substituant ces valeurs,

(n-A>- + B'j"-+Cy+...)(A+ B7 + Cj2 + ...]A- 2Bj- 3Cj2-...= o, savoir

(AA'-B)j-+^BA'+AB'-2C)j2|(CA'4-BB'+AC'-3D)j'+...=zo, d'où l'on tire tout de suite

BzrrAA', C=^(AB'+BA'), D = i (AC'+ BB'+ CA')

Ici la quantité A demeure indéterminée; mais nous avons déjà vu que les deux premiers termes de z dans l'équation proposée sont cc-hy/[x); par conséquent, on aura A=/(>r), et de là

donc

c = k\f{^)f'H^)+fH^]f"[^)l

Mais, en examinant les expressions de B, C, ..., on voit d'abord (ju'elles peuvent se mettre sous cette forme,

H=(^\\ C=^(AB/, D:=^^AC + ^B2y, E = j{\J)-hliCY, ...,

en dénotant, en général, par le caractère ( )' la fonction prime selon .xde la quantité renfermée entre les deux crochets, et, si l'on fait les substitutions successives, on trouve que ces expressions sont réductibles à celles-ci, plus simples,

B = -(A2)', C = -Ar(A3)", D:

en marquant par un trait, deux traits, etc. les fonctions primes, secondes, etc. des quantités renfermées entre les crochets, relativement à la variable a:, de sorte que, en substituant la valeur de A, on aura enfin

86. Supposons maintenant qu'on demande la valeur d'une fonction quelconque o{z) de s, développée de même suivant les puissances de j; on fera a — o{z), et, prenant les équations primes pour faire disparaître la fonction 9, on aura

d'où l'on lire

Substituant la valeur de — > tirée de l'équation 2'(3 — ^) — jz, = o du numéro précédent, on aura cette équation du premier ordre

u'[z — x) —yu, — o.

Supposons ici

« = P4-Qj + ur- + s;'3 + ...,

P, Q, R, ... étant des fonctions de x\ substituant cette valeur, ainsi que celle de z trouvée ci-dessus, on aura

d'où l'on tire

Or, en substituant successivement les valeurs de Q, R, ..., il est aisé de reconnaître que les expressions de ces quantités peuvent se réduire à cette forme simple

La fonction P demeure indéterminée, à cause de l'élimination de la fonction ç; mais, puisque a = 9 (s) = o [.r -f- j/(a;) +...], il est visible qu'on aura P = <p(a;), et par conséquent P' = ç'(ir). Donc, enfin, on aura

formule très-remarquable et d'un grand usage dans l'Analyse, surtout pour le retour des suites.

87. On pourrait parvenir immédiatement à ce dernier résultat par la formule du n° 33, car il n'y aurait (ju'à regarder u comme une fonction àc y et chercher les fonctions primes, secondes, etc. de u relatives à j, c'est-à-dire les valeurs de î/,, w,^, Faisant ensuite j—o,

on aurait

pour les coefficients P, Q, R, S, ... de la série.

Tout se réduit donc à trouver ces fonctions dérivées et à les mettre sous une forme simple et régulière. Pour cela, nous reprendrons les deux équations primes trouvées ci-dessus (n"* 85, 86),