II

lesquelles donnent celles-ci :

u,= u'fîz), z,= z'f[z].

On aura donc : i°

2" en prenant les fonctions primes selon y,

/'(s) dénote la fonction prime de z relativement à z ; or, de la première équation on tire aussi cette équation prime relative à x,

donc, substituant, on aura

u, = u"p{z]-\-iu'z'f'{z)f{z)^[u'P[z]]';

y en prenant encore les fonctions primes relatives à y, on aura

[u'p[z)l=u:p{z] + ^u'z,zf{z];

subsliluant les valeurs de u, et de ^, données ci-dessus, on aura

donc, prenant les fonctions primes relatives à x, on aura

et ainsi de suite.

Donc, puisque M = (p(z), on aura

u=z'o'[z), par conséquent

o[z) étant la fonction prime de <p(s) relativement à z seul. Faisons maintenant j= o ; l'équation proposée

z = x-^-xf[z) donnera z=: x; donc

z' = i, cp(^) = 9(x), cp'(s) = (p'(^) et f{z)=f{x); donc enfin

P=.cp(^), Q = 9'(^)/(x), R=n?'W/M^)]', S=-^[9'(^)/3W]",

comme ci-dessus.

Pour montrer par une application l'usage de cette formule, soit proposée l'équation

z :=X -hrz"',

X ety étant des quantités données, et qu'on demande la valeur de z" en série suivant les puissances dey; on fera donc

donc aussi

f[x) = x"', (f>{x)—x", (f'[x) = nx"->,

et l'on aura sur-lo-champ