CHAPITRE XVI

.mi:thode générale pour trouver l équation primitive d une équation du

PREMIER ordre ENTRE PLUSIEURS VARIABLES, LORSQUE LES FONCTIONS DÉRIVÉES SONT LINÉAIRES, ET POUR TROUVER l'ÉQUATION PRIMITIVE d'uNE ÉQUATION QUELCONQUE DU PREMIER ORDRE ENTRE TROIS VARIABLES.

88. Nous avons vu comment on peut l'aire disparaître une fonction arbitraire contenue dans une équation donnée, au moyen de ses équations primes; mais il y a, pour y parvenir, un moyen plus simple à quelques égards, fondé sur la considération que nous avons employée plus haut (n"82).

Considérons en général l'équation

dans laquelle/? soit égale 'à/{x,y, z), les deux fonctions désignées par les caractéristiques F et /étant données, et la fonction marquée par la caractéristique 9 étant arbitraire; on peut supposer j une fonction (le X telle que la fonction prime de p soit nulle; alors/? pourra être traitée comme constante dans la fonction Y[x,y, z, ©(/?)], pourvu qu'on détermine y' par la condition que la fonction prime de/(.r,r, 5) soit nulle.

Désignons simplement par V'{x-), F'( y), F'(s) et de même \yài' /{x), f'{y)> f'[^) les fonctions primes de F[.r, j, s, <p(yD)] Qi de f{x,y,z), prises relativement k x, y, z isolées et regardées comme indépendantes; on aura, comme dans l'endroit cité, les deux équations primes

dont la pi'tMiiièro contiendra <?(/>) et dont la seconde ne contiendra point/;: celle-ci servira à éliminer l'inconnue j'; la première, jointe à son équation primitive, servira à éliminer l'inconnue ç(/)).

Cette méthode a l'avantage de pouvoir s'appliquer aux équations qui contiendraient plusieurs fonctions arbitraires de la même fonction/;.

En effet, si l'on avait l'équation

on trouverait d'abord, comme ci-dessus, une équation du premier ordre sans la fonction o{p), mais qui contiendrait encore la fonction 4'(/')*' ensuite, appliquant à cette équation le même procédé et éliminant de nouveau la fonction y' qui paraîtra dans son équation prime par la même équation ci-dessus, on aura une équation du second ordre qui contiendra '\i{p) et d'où l'on éliminera cette fonction par le moyen de l'équation du premier ordre; et ainsi de suite, quel que puisse être le nombre des fonctions arbitraires de la même quantité/?.

Mais, si l'équation proposée contenait les fonctions (p(/;) et 'l'{q), p et ^ étant des fonctions différentes de oc, y, z, on ne pourrait pas parvenir à une équation du second ordre, débarrassée des fonctions ©(/;) et '\>{q) et de leurs dérivées; il faudrait alors passer à des équations d'un ordre supérieur.

89. Considérons les équations du premier ordre qui peuvent résulter de l'élimination d'une fonction arbitraire o{p), et supposons, pour plus de simplicité, ce qui est toujours possible, que l'équation primitive soit de la forme

F{^,r>~-] — 9{p)> p élanl =f[x,r,z);

on aura alors les deux équations primes

F» + z' F'{z) +/[F'(j) -H z, r{z)-\ = 0. f{x) -i- z' f'[z) + r'if'ir) -^ zJ'{z)]=.o,

qui seront délivrées de <p(/>), et il ne s'agira plus que d'éliminerj'.