CHAPITRE II

DES LIGNES DROITES TANGENTES, DES CERCLES TANGENTS ET DU LIEU DE LEURS CENTRES. DES CERCLES OSCULATEURS ET DU LIEU DE LEURS CENTRES. ANALYSE GÉNÉRALE DU CONTACT DES COURBES PLANES. DU CONTACT DANS DES CAS SIN- GULIERS ET DES LIGNES ASYMPTOTES.

G. Soit proposée une courbe quelconque représentée par l'équation

comparons-la d'abord avec une ligne droite quelconque. Puisque nous avons représenté en général par <7 = F(jo) l'équation de la courbe à laquelle on veut comparer la proposée (n" 2), on aura, pour la ligne

droite,

F{p) = a-hbp,

a et b étant deux constantes qui déterminent la position de cette droite.

La condition d'un point commun donne d'abord

f[x) =F(,r) = « + bx,

et l'on pourra y satisfaire au moyen d'une des indéterminées a ou b.

Supposons ensuite /'(a;) = F'( a?); il est clair qu'en cliangeant, dans a -+- bp, p en oc, et prenant la fonction prime, on aura

r[x) = b; donc

SECONDE PARTIE. - CHAPITKE II. l!)l

Ainsi les valeurs de a et b seront déterminées par ces deux conditions,

car on aura

b=f'[x) el a=f[x)-xf'[x].

Donc l'équation de la ligne droite deviendra

p et q étant les deux coordonnées et l'abscisse x étant regardée comme constante.

Je dis maintenant que cette di'oite a la propriété qu'aucune autre droite ne pourra être menée entre elle et la courbe.

Car, soit

s = o[r] =1 g -{- lir

l'équation d'une autre droite quelconque; pour qu'elle passe par le même point commun, il faudra que l'on ait aussi (ù[x)^=f[x), et, pour qu'elle puisse passer entre la courbe et la droite que nous venons de déterminer, il faudra de plus que l'on ait <^\x) =f'[x) (n° 3); ces deux conditions donnent

g-\- hx ^=f[x) el /i=f'[x),

d'où l'on tire, pour g et h, les mêmes valeurs que nous venons de trouver pour a et ^, de sorte que cette dernière droite coïncidera avec la première.

Donc la droite déterminée par l'équation

q = a-^- bp,

où a=f{x) —xf'[x) et h—f\x), sera tangente de la courbe représentée par l'équation y^f[x), au point qui répond à l'abscisse p = x. Puisque y — f[oc), on aura, suivant la notation employée dans la première Partie,

donc les expressions de a et b seront plus simplement

a=^y — xy' cl b=y.

Dans l'équation de la ligne droite

il est aisé de voir que b exprime la tangente de l'angle que cette droite

fait avec l'axe et que — r est l'abscisse qui répond au point où la

mémo droite coupe l'axe. Donc, cette droite étant tangente à la courbe au point où p = x, y sera la tangente de l'angle qu'elle fait avec l'axe,

Cl 'V'

et ^ -F- r = ^ sera ce qu'on appelle la sous-tangente.