Représentons par
une autre droite qui passe par le même point de la courbe, /-et s étant les deux coordonnées de cette droite; on aura pour ce point
donc
a -^ bx = X -h fSx.
Pour que cette droite coupe la première sous un angle dont la tangente soit m, comme i et [3 sont les tangentes des angles que ces deux droites font avec le même axe, on aura, par les formules connues de la Trigonométrie,
'^ I — bm
donc
— bm
où il n'y aura qu'à substituer les valeurs de a et h.
Si l'on veut que cette seconde droite soit perpendiculaire à la tangente, on fera /n = se , c'est-à-dire — =:= o, et l'on aura simplement
et
Ainsi — — sera la tangente de l'angle que cette perpendiculaire
qii on appelle communément normale fera avec l'axe, et j? + ^ =-~yy'
sera la partie de l'axe comprise entre le point où elle coupe l'axe et l'oi'donnée, c'est-à-dire la sous-normale.
Si les deux coordonnées x, y de la courbe étaient exprimées en fonction d'une troisième variable quelconque, alors, prenant a;' et j' pour les fonctions primes de x eiy relativement à cette autre variable, n n y aurait qu'à mettre partout, dans les formules précédentes, —, à la place dey (n° 50, F« Partie).
Il serait superflu d'appliquer ces formules à des exemples; car, pour peu qu'on sache les premiers éléments du Calcul différentiel, on ne peut manquer d'apercevoir l'identité des formules précédentes avec les formules différentielles connues. Il suffit de mettre -~- à la place de la fonction dérivéey.
8. Prenons maintenant le cercle pour le comparer avec la courbe proposée. L'équation générale du cercle rapportée aux coordonnées rectangles jo et ^ est
OÙ a et 6 sont les coordonnées qui répondent au centre et c est le rayon du cercle. De là on tire
q=^b + \lc-~ [p — ay^=F{p);
donc
F(x) = 6 -t- ^/c- — [x — a)-, et F'(x) = —
v'c-— [x — a)- Faisons donc
Y[x)=f[x)=r^ et r[x)=f'[x]=r'^
et tirons de ces équations les valeurs de « et ^; la seconde donne
\C- — Lr — «-rzr — ; — ,
