IX

d'où l'on [\iv

ensuite la première donne

donc

cy . c

Si l'on regarde le rayon c comme donné, il ne reste plus d'arbitraires dans l'équation , et l'on en conclura que le cercle donné, dont le centre est déterminé par les coordonnées a et b, est tel, qu'on ne pourrait mener entre lui et la courbe aucun autre arc de même rayon, mais placé différemment.

Car, pour un autre cercle du même rayon c, rapporté aux coordonnées r et s, et dont les coordonnées du centre seraient g et //, on aurait l'équation

cp ( r] = h -h \Jc^ — {>' —

et, pour que ce cercle eût le même point commun avec la courbe proposée et pût passer entre cette courbe et le cercle déjà déterminé, il faudrait que l'on eût aussi

cf[x)=f{x)=x, el o'{x)=^f'[x)^x',

équations qui serviraient à déterminer les deux quantités g el h; or il est visible que ces équations sont de la même forme que les précédentes, les quantités g et h étant à la place de a et b i donc elles donneront pour g et h les mêmes valeurs que l'on a trouvées pour a et b; par conséquent, le nouveau cercle se confondra avec le cercle délcrminé par ces valeurs.

Donc, suivant la même notion des tangentes, le cercle de rayon c, dont le centre sera déterminé par les coordonnées a et b, sera tangent à la courbe proposée, dont x et y sont les coordonnées.

Comme cette conclusion a lieu quelle que soit la valeur du rayon c.

on peut regarder c comme indéterminé dans les expressions de a et h ; alors ces coordonnées a et b appartiendront à une ligne droite donl l'équation résultera de l'élimination de c et qui sera, par conséquent,

Cette droite sera donc le lieu des centres de tous les cercles qui [)euvent être tangents à la courbe; elle sera donc normale à la courbe : eu effet, on voit que l'équation de cette droite, où a et Z» sont les coordonnées, coïncide avec celle de la normale trouvée plus liauî (n° 7), en y changeant /• et ^ en a et b.

9. Maintenant, parmi ces différents cercles qui satisfont aux conditions Y{x)—/[x) = v, Y'[jc)=/'{x) = y, on peut en trouver un qui satisfasse de plus à la condition Y"{a:) =/"{x)=:y".

En effet, ayant trouvé ci-dessus

sjc-— [x — a] on en déduira

[c2- [x — aYY Ainsi, on aura l'équation

or on a déjà trouvé dans le même endroit

donc on aura

et de là

Substituant cette valeur clans les expressions de a et h, on aura

Les trois constantes a, h, c qui entrent dans l'équation générale du cercle étant ainsi déterminées, on en peut conclure qu'aucun autre cercle ne pourra passer entre la courbe proposée et celui qui est déterminé par ces valeurs de a, b, c. En efl'et, pour qu'une autre courbe quelconque rapportée aux coordonnées r, s et représentée par l'équation ^=ç(r) pût passer entre la courbe et le cercle dont il s'agit, il faudrait que l'on eût (n" 4)

or, si cette courbe est un cercle, prenant les quantités^, h, k à la placé de a, b, c, on aura pourç(a;), 9'(-'c), ^"(a;) les mêmes expressions que pour Y{x), T{x), V\oc), en substituant seulement dans celles-ci g, h, k au lieu de a, b, c; donc les trois équations que l'on aura pour la détermination de g, h, k seront les mêmes que celles par lesquelles on a déterminé a, b, c; donc les valeurs de g, h, k seront nécessairement les mêmes que celles de a, b, c; par conséquent, le nouveau cercle, qui devrait passer entre la courbe et le cercle déjà déterminé, coïncidera avec celui-ci et n'en formera qu'un avec lui.

Donc ce cercle aura, relativement aux cercles, la même propriété que la tangente à l'égard des lignes droites; ce sera ce que les géomètres appellent cercle osculateiir ou cercle de courbure, parce qu'il sert à mesurer la courbure de la courbe.

La quantité c sera le rayon de ce cercle, qu'on nomme simplement rayon de courbure, et les quantités a, b seront les coordonnées de la courbe qui sera le lieu de tous les centres de ces cercles.

Si l'on veut transporter ces formules au Calcul différentiel, il n'y

aura qu'à substituer -j- à la place de y' et —^, à la place de y".

10. On peut maintenant présenter cette théorie d'une manière plus générale.

Soient x, y les coordonnées de la courbe proposée, qui peut être quelconque, et/j, q les coordonnées de la courbe; qu'on veut lui comparer, et qui est supposée donnée.

Supposons que l'équation de cette courbe renferme, avec les variables p et q, des constantes indéterminées a, b, c, ..., et représentons-la par

Si dans cette équation on change p en x, q en y, on a

équation qui donne la condition nécessaire pour que la courbe donnée ait un point commun avec la courbe proposée.

DénotonsparF(a7,j, a, Z>,c,...)' la fonction prime, parF (a;, j,«,^,c,...)" la fonction seconde, etc. de la fonction Y{x,y,a,h,c, ...),qx\ regardant V comme fonction de .r, et a,b,c, ... comme des constantes.

Cela posé, s'il n'y a que deux constantes indéterminées a et b, et qu'on les détermine par les deux équations

alors la courbe donnée, dont l'équation est

sera tangente de la courbe proposée au point où p = x.

S'il y a trois constantes indéterminées a, b, c, et qu'on les détermine par les trois équations

la courbe donnée, dont l'équation est

sera osculatoire de la courbe proposée, c'est-à-dire aura même courbure, au point qui répond à l'abscisse/? == a?, et ainsi de suite.

Cela suit immédiatement des principes établis ci-dessus, car l'équation prime

donne la valeur de r' en ^,y, a, h,c, .... l'équation seconde

donne celle de y" en x, y, y' et a, b, c, . . ., et ainsi de suite.

On peut en général appeler contact du premier ordre le rapprochement de deux courbes qui se touchent dans un point, contact du second ordre lorsqu'elles ont de plus la même courbure, et ainsi de suite.

On peut appeler aussi les constantes a, h, c, . . . , qui déterminent le contact, éléments du contact.

Ainsi, le contact d'un ordre quelconque m dépendra de m-\-i éléments a, b, c, .. ., et la détermination de ces éléments se tirera de

l'équation

F(jr,j-, a, b, c, . . .] — o

(le la courbe donnée qui forme le contact et des équations dérivées de celle-ci jusqu'à celle de l'ordre m'""'".

La propriété analytique de ces contacts est donc que, lorsque deux courbes ont entre elles un contact d'un ordre donné, leurs ordonnées et les fonctions primes, secondes, etc. de ces ordonnées jusqu'à l'ordre du contact sont les mêmes, et leur propriété géométrique consiste en ce qu'une autre courbe qui n'aura pas avec elle un contact du même ordre ne pourra être menée entre l'une et l'autre (n° 5).

11 . La courbe donnée qui forme le contact, étant, par exemple, une ligne droite dont l'équation la plus générale est

y — a — bx =: o,

ne sera susceptible qw d'un contact du premier ordre, puisqu'il n'y a que deux éléments a et b, et l'on aura pour la détermination de ces

éléments les deux équations

)• — a — bx-=o, y'—b^o,

bz=y' el a—y — xy,

comme ci-dessus (n** 6).

Prenons pour la courbe du contact un cercle dont l'équation la plus

ijfénérale est

[x — fl)-+ (/— b)-— c-= o;

elle ne sera susceptible que d'un contact du second ordre, puisqu'il n'y a que trois éléments a, b, c. On déterminera donc ces éléments par les trois équations

dont la seconde et la troisième sont les équations prime et seconde de la première. De ces équations on tire tout de suite

i + r'- (i-+-r"-lr' (1 + /-)-

comme plus haut (n° 9).

Si l'on prenait l'équation à la parabole

y= a -h bx -\- ex-,

qui n'a aussi que trois constantes arbitraires, on aurait de même, pour la détermination de ces constantes, regardées comme éléments d'un contact du second ordre, les équations

y — a — bx — cx'-r=o, y' — b — icx=:o, y" — ic=^o,

lesquelles donnent

6'=-— , b—y—xy', a=zy — xy^ ^•

Mais, si l'on prenait l'équation à la parabole cubique

y=^a-\-bx-r- ex- + dx".

elle pourrait avoir un contact du troisième ordre, dont les éléments seraient a, b, c, d et se détermineraient par les équations

y — a — hx — ex" — dx^ = o, j-' — b — icx — "iclx- -= o, /'-2C — 6</.r = o, y"-6d=^o;

on aurait ainsi

et ainsi de suite.

12. Enfin, si l'on demande la courbe la plus simple qui aura avec une courbe proposée un contact d'un ordre quelconque m, prenant aet y pour l'abscisse et l'ordonnée de la proposée, p lit q pour celles de la courbe cbercliée, et regardant y comme fonction de x, q comme fonction de p, on fera

, . , [u~x]- ,, { fi — xV ,,,

en prenant dans le second membre autant de termes qu'il y a d'unités dans m-h i.

Car, en prenant les fonctions dérivées relativement à /? et faisant p:=.r, on aura q = y, q'=y, ^"=7"» • • • jusqu'à q"' = y"'; donc ces deux courbes auront, dans le point commun qui répond l\p = jc, les conditions nécessaires pour un contact de l'ordre m"""' (n"* 10).

La courbe représentée par l'équation précédente, et qui est, comme l'on voit, du genre parabolique, aura ainsi, dans le point commun à la courbe proposée, le cours le plus approchant de celui de cette courbe, de manière qu'aucune autre courbe du même genre ne pourra passer entre ces deux si elle n'est pas d'un degré ])lus haut.

13. La théorie (]ue nous venons de donner sur le contact des courbes n'est qu'une suite de la théorie générale du développement des fonc-

lions, exposée clans la première Partie. Mais nous avons vu (n°^ 29 et suiv., I'^ Partie) qu'il y a des cas particuliers où ce développement échappe à la forme générale, et que ces cas sont ceux où une valeur

donnée de jc- l'end infinies les fonctions dér\\ées/'{œ),/"[x), Alors

le développement de f{a--{-i) contiendra nécessairement, pour cette valeur de x, d'autres puissances de i que les simples puissances /, r, ..., et l'analyse des n"* 3 el 4 se trouvera en défaut. Quoique ces exceptions ne portent aucune atteinte à la théorie générale, il est nécessaire, pour ne rien laisser à désirer, de voir comment elle doit être modifiée dans les cas particuliers dont il s'agit.

Supposons donc qu'en faisant a; = m la fonction/(^ + i), développée en une série ascendante de i, soit de la forme

<j., V, . . . étant toujours des nombres positifs.

Je remarque d'abord qu'on peut trouver les coefficients A, B, C, . . ., ainsi que les exposants 1, [;., v, . . ., par une méthode semblable à celle du n° 3 de la première Partie. On fera d'abord

f[m + i]=f{m)-hP?,

et l'on prendra pour P la plus haute puissance de i qui divisera /{m-hi)—f{m), après les réductions convenables, de manière que le quotient P ne devienne ni nul ni infini en faisant i=o. Lorsque 772 r=o, l'exposant 1 pourra être négatif; dans tout autre cas, il sera évidemment toujours positif (*). On fera ensuite

A étant la valeur de P lorsque i = o, et l'on prendra pour i''- la plus

(*) Une inadvertance singulière a été commise ici par Lagrange. L'exposant ). ne peut jamais être négatif, car le développement de/(/«-i-/) ne peut contenir de puissances négatives de I que si/(/«) est infini; d'ailleurs l'hypothèse de m = o ne saurait constituer aucune particularité : on peut toujours faire en sorte qu'il en soit ainsi, par un déplacement de l'origine des coordonnées sur l'axe des abscisses.

Je n'ai pas cru pouvoir me permettre la moindre altération au texte de l'illustre auteur, et j'ai laissé subsister la faute dans celte nouvelle édition. [Noie de l'éditeur.)