IX

haute puissance positive de i qui divisera P —A, de manière que le quotient Q ne devienne ni nul ni infini lorsque i = o. On continuera en supposant

B étant la valeur de Q lorsque i'= o, et i^ la plus haute puissance positive de i qui divisera Q — B, en sorte que le quotient R ne soit ni nul ni infini lorsque i = o; et ainsi de suite. On aura, de cette manière,

/(m H- i] =f[m) + PP=f[,n) + PA H- P+i^Q =/( m ) + P A + />-+i^ B + />-+|J'+-' R

On a, pour trouver les termes successifs d'une série, des méthodes plus courtes ou d'un calcul plus facile, mais la précédente a l'avantage de ne développer la série qu'autant que l'on veut et de donner la valeur du reste. Nous n'aurons pashesoin, pour notre ohjet, de connaître ces restes; il nous suffira de savoir qu'ils peuvent toujours s'exprimer par des quantités de la forme que nous venons de trouver.

Cela posé, considérons la courbe représentée par l'équation

r étant l'abscisse et r l'ordonnée; supposons qu'elle ait un point commun avec une autre courbe, dont l'ordonnée soil F(a;), et que ce point réponde à l'abscisse m, en sorte que l'on ait ¥{ni)~/{m). Au delà de ce point, les ordonnées des deux courbes seront /"(/« + i), ¥(m-{- i) pour une abscisse quelconque m ~\-i, et leur différence, que je désignerai par D, seray(m-i-«) — Y[m-\-i).

Développons la fonction Y[m-\-i) comme la fonction /(m-f- 1), et

soient

¥{in -+- i] = F{in) + iPp, p-=x-hi'^q, q = p-hi''i; ...,

-7, T, ... étant des nombres positifs, et a, p, ... étant les valeurs de p, q, ... lorsque /=o; on aura d'abord, à cause de F(m) — /(m),

D — i'\ — iPac-h P+V-Q — iP+'^q +

Les deux premiers ternies du développement de f.m-hi) étant f[m) ■+- P X, et ceux du développement de F(/;? -i- i) étant F(/w) -+-jPa, supposons qu'ils deviennent égaux, en sorte qu'on ait aussi p = >. et y. = A: la première de ces deux conditions dépendra de la nature des l'onctions désignées par/ et F, mais la seconde pourra toujours être remplie comme la condition de V{m)=/{m) par le moyen des constantes arbitraires a, b, c, ... qui entreront dans la fonction f{cc). On aura donc, dans ce cas,

D = i>-+H-Q — ip^-^q + . . . ,

et il sera impossible qu'aucune autre courbe passe entre les deux courbes dont il s'agit, dans le même point qui répond à l'abscisse m, à moins que les deux premiers termes du développement de '^{m -+- i), o{x) étant l'ordonnée de cette autre courbe, ne soient aussi les mêmes que ceux du développement de/(7/z + /).

Car, s'ils sont différents, ils ne pourront pas se détruire dans l'expression de la différence A des deux ordonnées/(/n + «) et f^{m-hi), et l'on aura en général

A = />'A — i?x-fr i'^-^i'-Q — 19^'-' q + . . . ,

à cause de o(m) =f[m) par la condition supposée de la coïncidence des courbes dans le point qui répond à x-=7n. Cette expression de A étant comparée à celle D = f^'^'^Q — «P^'^f/+ . .., il est facile devoir que, à cause que les exposants a, -j, . . . sont nécessairement positifs par la nature du développement, il sera toujours possible de prendre i assez petit pour que la valeur de A surpasse celle de D, abstraction faite des signes, tant qu'on n'aura pas p = >. et a = A, comme dans les deux premières courbes. Donc, dans tout autre cas, la troisième courbe passera nécessairement en debors des deux autres.

En poussant plus loin le développement des fonctions /(m + «) et F(/72-t-/), on prouvera de la même manière que, si les trois premiers ternies du développement de ces fonctions sont les mêmes, aucune autre

courbe ne pourra passer entre elles, à moins qu'elle n'ait aussi les mêmes termes communs avec celles-là; et ainsi de suite.

On pourra donc appeler aussi, comme dans le n" 10, contact du premier ordre, du second, etc. le rapprochement de deux courbes pour lesquelles les deux premiers termes, ou les trois premiers, ou etc. seront les mêmes dans les développements des fonctions qui représentent les ordonnées.

Ainsi, la courbe dont l'équation est

étant donnée, la courbe la plus simple qui aura avec elle un contact du premier ordre au point où x = m sera représentée par l'équation

y =f[ m ) -+- A ( X- — m ) '', et celle qui aura un contact du second ordre le sera par

et ainsi de suite. Car, en substituant /« + / pour a:, on aura simplement les deux premiers termes /(w.) h- At^, ou les trois premiers f[m)-]- \.p- + 'Qp'^^, ou etc. du développement de /{m-hi). Ces courbes auront donc aussi dans le même point le cours le plus approchant de celui de la courbe proposée et pourront, par conséquent, servir à en faire connaître les propriétés comme les points singuliers, les points de rebroussement, etc., sur quoi voir V Analyse des lignes courbes de Cramer.