Supposons maintenant que, dans l'équation

de la courbe proposée, on substitue -r à la place de ce, et qu'on développe la fonction/! -j en une série ascendante de la forme

SECONDE PARTIE. - CHAPITRE II. 20.i

Si l'on fait la même chose pour l'équation

(l'une autre courbe, et que les premiers termes du développement de

F (-j soient les mêmes que ceux du développement de/[^U on pourra

prouver, par un raisonnement semblable à celui qui a été fait ci-dessus, qu'on pourra toujours prendre i assez petit pour qu'aucune autre

courbe, représentée par l'équation j =9 (a?) et dont la fonction çf^) développée de même en série ascendante n'aurait pas autant de termes identi(jues avec ceux de ces courbes, ne puisse passer entre ces mêmes courbes dans les points qui répondront à l'abscisse a; = - et à toutes

les abscisses plus grandes à l'infini, puisque, dès que la condition qui peut empêcher que cette courbe ne passe entre les deux autres aura lieu pour une certaine valeur de i, elle aura lieu, à plus forte raison, pour toutes les valeurs de i plus petites.

D'où l'on peut conclure que la courbe dont l'équation sera simplement

7=A,r~^-, ou r = A^^^ H- R:r~^-~i^-, ou etc.

ira en s'approchant continuellement de la courbe proposée à mesure que les abscisses x deviendront plus grandes, mais sans pouvoir jamais l'atteindre, de manière qu'elle parviendra à un terme passé lequel aucune autre courbe du même genre parabolique ou hyperbolique, qui ne sera pas d'un degré plus haut, ne pourra passer entre les deux courbes. Cette seconde courbe sera donc une asymptote de la première, et cette idée de l'asymptote me paraît la plus simple et la plus générale qu'on en puisse donner, en même temps qu'elle est aussi la plus propre à caractériser la nature du rapprochement qui constitue le vrai asymptotisme.