CHAPITRE III

PROBLÈMES DIRECTS ET INVEUSES SLR LE CONTACT DES COURBES. ANALYSE DES CAS OU l'on PROPOSE UNE RELATION ENTRE LES DEUX ÉLÉMENTS DU CONTACT DU PREMIER ORDRE. DE LA COURBE REPRÉSENTÉE PAR l'ÉQUATION PRIMITIVE SINGU- LIÈRE d'une ÉQUATION DU PREMIER ORDRE.

15. Les problèmes qu'on peut proposer sur les tangentes, les rayons (le courbure, etc., et en général sur les contacts des courbes, sont de deux sortes, directs ou inverses. Les problèmes directs se réduisent toujours à trouver quelques-uns des éléments du contact d'un certain ordre, et, comme ils ne dépendent que de l'analyse directe des fonctions, ils sont toujours résolubles analytiquement. Dans les problèmes inverses, on suppose qu'il y a une relation donnée entre quelques-uns do ces éléments et les coordonnées x, y avec les fonctions dérivées j', y", . . . , et cette relation, en y substituant les expressions générales des éléments en a?, j, j', y", ..., devient une équation dérivée d'un certain ordre, dont il faut Irouver l'équation primitive pour avoir celle de la courbe cbercbée en a? et y. Ces problèmes conduisent donc immédiatement à des équations dérivées, et leur solution, dépendant essentiellement de l'analyse inverse des fonctions, se trouve sujette à toutes les difficultés de cette analyse.

11 y a cependant des cas où l'on peut les résoudre directement par des considérations particulières, qui méritent d'autant plus d'atlenlion, qu'elles tiennenl à des finesses d'analyse qu'il est intéressant de connaître.

Ces cas sont ceux où la l'elalion donnée n'est ([n'entre les éléments mêmes du contact, sans que les coordonnées x-, y y entrent.

Pour donner d'abord, par un exemple, une idée de ces sortes de problèmes, supposons qu'on demande la courbe dont cliaque tangente coupera deux ordonnées (prolongées s'il est nécessaire) répondant aux abscisses données a7 = 7n et oc = n, de manière que le produit des parties de ces ordonnées comprises entre la même tangente et l'axe des abscisses soit toujours constant et égal à K.

Puisque l'équation à la tangente est (n" 6)

</ = rt + bp,

en faisant successivement /> = m et p==n, on aura les deux valeurs de g, dont le produit devra être égal à K; on aura donc, entre les éléments du contact a et b, l'équation

[a -\- nib) [a + nb) ^K.

La marcbe naturelle et directe serait donc de substituer à la place de a et b leurs valeurs y—xy' et y' (numéro cité); on aurait alors cette équation du premier ordre

dont il ne serait pas aisé de trouver l'équation primitive par les méthodes ordinaires.

Mais, si l'on prend les fonctions primes de cette équation, il vient celle-ci,

[;• + (re — X ) / ] ( m — x)x" + [j- + (m — X ) / ] ( n — x)/'= o,

dont tous les termes se trouvent multipliés par y", de sorte qu'elle peut se décomposer dans ces deux :

f'=o el [y^{n — x)y]{m — a:]-h[y^{m — x]y][n~x) = o.

La première, qui est du second ordre, donne sur-le-champ celle-ci du

premier,

où A est une constante arbitraire; ainsi, par les principes établis dans les n°^ 46 et suivants de la première Partie, on aura l'équation primitive complète de la proposée en y substituant simplement cette valeur de y.

Cette équation sera donc de la forme

(j— Ax -4- mA)(j — A^- + iiA) = K,

savoir, en développant les termes,

(r — Ax)--\- [y — Ax)[m -h ?i) \-^ mnX- — K =: o,

d'où, en extrayant la racine, on tire

j-= kx -\-ïi,

en prenant pour B la racine de l'équation

B--+- [m + n) AB + mnA-— K =o.

D'où l'on voit que l'on n'a de cette manière qu'une équation à la ligne droite.

En effet, l'équation j"=o ayant donné j'= A, celle-ci donnera l'équation primitive

r — Ax-hB,

A et B étant deux constantes arbitraires; mais, par la tbéorie des numéros cités ci-dessus, ces deux constantes ne peuvent pas être arbitraires à la fois, car il faut que l'équation trouvée coïncide avec la proposée pour une valeur de x; or, faisant x = o, on a

donc on aura entre A et B cette équation de condition,

(B + mA)(B + /iA) = K,

qui est la môme que celle que nous avons trouvée ci -dessus pour la détermination de B en A.

Venons maintenant à l'autre équation, qui n'est que du premier

ordre. Celle-ci servira également à trouver une équation primitive de la proposée par l'élimination dey. Kn effet, elle donne

valeur qui, étant substituée dans la proposée, la réduira à celle-ci,

^'+ ' Im-n]^ ^°'

4K(m — T][n — x] [ni — n)-

équation à l'ellipse ou à l'hyperbole, suivant que K sera une quantité positive ou négative. Le grand axe sera m — n, le petit axe ayi K, et les deux sommets seront aux points où x=zm et où a: = w.

La propriété des tangentes qui nous a conduits à cette équation est démontrée dans la proposition XLII du Livre III des Coniques d'Apollonius; mais l'analyse précédente a l'avantage de faire voir que cette propriété appartient uniquement aux sections coniques.

16. Si on examine maintenant les deux solutions qu'on vient de trouver, il est facile de voir que la première ne donne que la ligne droite même qu'on a supposée tangente, en regardant les deux éléments a et b comme constants; car l'équation jK=:Aa7 4- B ne diffère point de l'équation g = a + bp de cette tangente, l'équation entre les deux constantes A et B étant évidemment la même que celle que l'on a supposée entre les quantités b et a.

En effet, il est visible que toute droite peut résoudre le problème, pourvu qu'il y ait entre ses deux constantes la relation donnée par les conditions du problème, et, comme il reste une constante arbitraire, il s'ensuit que l'équation de cette droite doit être l'équation primitive complète de l'équation du premier ordre donnée par le problème. Donc, analytiquement parlant, le problème est résolu complètement par l'équation même

y'= a -\- bx,

a et b étant deux constantes, dont l'une est arbitraire et l'autre en dé- IX. 27

pend par l'équation

{a + mb) [a -{- nb] =K.

A l'égard de la seconde solution, comme elle ne contient point de constante arbitraire, elle est à la rigueur moins générale que la première et ne peut être qu'un cas particulier de celle-ci ou bien une solution singulière provenant de la considération que nous avons développée dans le n° 60 de la I'* Partie.

Il est d'abord facile de se convaincre que cette dernière solution ne peut être un cas particulier de la première, car il faudrait pour cela (jne l'équation j' = a + ^j:- de la première pût satisfaire à l'équation

^K{m — x] (il — x]

1)1 — ri-

de la seconde, en déterminant convenablement sa constante arbitraire, et par conséquent qu'en éliminant y de ces deux équations la résultante ne contînt plus que des constantes, ce qui n'est pas.

Elle ne peut donc être qu'une solution singulière, et, en effet, nous avons vu (I'*' Partie, n" 59) que le caractère de l'écjualion primitive singulière de toute équation du premier ordre de la ïovme y=¥{x,y) est de rendre infinie la fonction F'(j), c'est-à-dire la fonction prime de ¥{x,y) prise relativement a y seul. Or, l'équation de notre problème

étant mise sous la forme précédente, donne

r{2x — m — n] -h \/ /\li(in — ^1 (« — x) -h i ni — n)-y-

2 [m — x]{n d'où l'on tire

, , {?7i — n)-y-i- {ix — m — n] \/^K(ni — ^ |(n — x) -t- (m — n)^r-

r iJ'J = '■ — î

où l'on voit que V'{y) devient infini par l'équation

4K (m — x)[n — x) + (m — fi)-f- = o,

qui est celle de la seconde solution.

SECONDE PARTIE. - CHAPITllE III. 211

17. Kii examinant la manière dont nous sommes parvenus à cette solution, on verra (ju'elle dépend de cette circonstance que les fonctions primes de a et b regardés comme fonctions de ce, y, y' sont entre elles dans un rapport qui ne contient pas la fonction seconde y"; en effet, ayant b = y' et a=y — ccy', on a

/»' = ;•" Cl a'= — xy", ce qui donne

«le sorte que, prenant la fonction prime de l'équation

[n -h mb) [a + nb) = K

et divisant par b', on a une équation qui est également du premier ordre, et le résultat de l'élimination de y entre ces deux équations donne l'équation aux sections coniques trouvées plus haut. Or je considère que les quantités a et b sont données par les équations (n" 11 )

^^a-hbx ei y'=zb.

Ainsi l'équation dont il s'agit est le résultat de l'élimination de a, b et y' entre les équations

y = a-hbx, y'-^b, [a -{- nib)[a -\- nb) ^^K

et l'équation prime de cette dernière divisée par b'. On obtiendra donc aussi le même résultat en éliminant d'abord une des deux quantités a ou b entre les deux équations

y=:a + bx el [a -h mb] {a + nb) =:K,

et ensuite éliminant l'autre par le moyen de l'équation résultante et de son équation prime prise en faisant varier cette dernière quantité. Ainsi, éliminant d'abord a, on a l'équation

[y + [m — x) blly -h {n — x) b^ = K.

Prenant l'équation prime relativement à i et divisant par h', on a

2 ( ni — -t" ) i « — ^ )

valeur qui, substituée dans l'autre équation, donnera comme ci-dessus

l'équation

[m — n)- y- + ^Yi[m — x][n — x] = o,

(|ui renferme la seconde solution.

On peut encore considérer que l'équation

[a + mb) [a -h nb) =^ K,

(jui contient la relation entre a et b, dans laquelle consiste la condition (lu problème, donne, par la résolution, «=/( 6), valeur qui, étant substituée dans l'équation

y ^ a -+- bx,

la réduit à celle-ci,

y=f[f>) + bx,

(jui ne contient plus que la constante arbitraire b, qu'on éliminera par l'équation prime prise relativement à b, savoir

ce qui donnera encore le même résultat. Or, par ce qu'on a vu ci-dessus, l'équation

est l'équation primitive complète de l'équation du premier ordre donnée

|iar le problème; donc l'équation résultante de l'élimination de b entre

celle-ci et l'équation

sera précisément l'équation primitive singulière, d'après la théorie du n" 60 de la V^ Partie.

D'un autre côté, comme l'équation r=/(i) + ia? est l'équation générale des tangentes de la courbe cherchée (n'' 15), on en peut conclure que pour avoir l'équation de cette courbe il n'y a qu'à regarder la constante arbitraire b qui diflerentie les tangentes comme variable et la déterminer par la condition que l'équation prime relative à cette seule variable ait lieu en même temps, et de là on voit aussi que l'équation primitive singulière que nous avons trouvée pour l'équation du premier ordre donnée par le problème n'est autre chose que l'équation de la courbe formée par l'intersection continuelle des droites représentées par l'équation primitive complète de la même équation du premier ordre.

18. Après avoir ainsi éclairci la matière par un exemple, nous allons la traiter d'une manière générale. Soit, comme dans le n° 10,

l'équation de la courbe du contact, que nous avons supposée ci-dessus une ligne droite, et soit

l'équation qui détermine la relation entre les deux éléments a et b, donnée par la nature du problème proposé ; suivant la théorie donnée dans ce même numéro, il faudra déterminer a et ^ par les deux équations

Y[x,y', a,b)=: o et 'Ç[x,f, n,b)' = o.

Or nous avons vu dans la V^ Partie (n° 46) que, si l'on élimine a et b des trois équations

on a une équation du second ordre entrer,/, y' ci y", que nous désignerons par \= o, et dont

¥{x,x, a, b) = o sera l'équation primitive complète, a et b étant les constantes arbi-

n'^ THEORIE DES FONCTIONS.

traires; nous y avons vu aussi que, si l'on élimine a ou b des deux premières, les deux résultantes seront des équations primitives du premier ordre de la même équation V=:o, et dont celle-ci sera le résultat, en prenant de nouveau les fonctions primes et éliminant la constante qui y était restée (n° 47). Donc, si de ces deux premières équations on tire les valeurs de a et b, que nous désignerons par P et Q, en sorte que l'on aita = P, b = Q, P et Q étant des fonctions de a;, y et y', qu'ensuite on prenne les fonctions primes de ces équations, en y regardant toujours a et b comme constantes, on aura les équations du second ordre P'=o, Q'=o, qui devront coïncider avec l'équation Y=o, de sorte qu'on aura nécessairement