P' = MV, Q'^^NV

M et N étant des fonctions de œ, y et y' sans y ; car si, par exemple, M contenait encore j", alors l'équation P'=o donnerait, outre Y=o, celte autre équation du second ordre, M=o, qui ne serait pas comprise dans la même équation ^'=o, ce qui ne se peut.

Substituant donc ces valeurs de a et b dans l'équation du problème

o[a, b] = o, on aura

prenant ensuite l'équation prime, on aura

PV{P) + Q'?'(Q) = o,

en dénotant par 9'(P) et 'p'(Q) les fonctions primes de cp(P, Q) prises relativement à P et Q isolés; donc, mettant pour P' et Q' les expressions ci-dessus, cette dernière équation deviendra

V[Mcp'(P) + N9'(Q)] = o, laquelle se décompose naturellement en ces deux-ci :

V=o ei M9'(P)+N(p'(Q) = o.

l.a première, Y=o, sera du second ordre et aura pour équation primitive complète

c'est-à-dire l'équation mémo de la courbe du contact, dans laquelle une seule des deu\ constantes a et b sera arbitraire, l'autre étant déterminée par l'équation même du pr()l)lème o(rt, Z*) = o.

L'autre équation,

Ma)'(P)+N9'(Q) = o,

ne sera que du premier ordre et sans constante arbitraire; mais, étant combinée avec l'équation 9(P, Q) = o, elle donnera, par l'élimination dey, une équation entre .x et j qui sera l'équation primitive singulière de cette dernière (p(P,Q) = o.

Cette équation sera donc le résultat de l'élimination des quantités a, b et/' entre les quatre équations

F[x,f,a,b] = o, F{x,y,a,b]' = o, (ji{a,b)=o, M9'(«) + Nç'(6) =z o.

Or, en regardante et b comme des fonctions de x et j, les équations

résultant des deux premières, donnent ces deux équations primes

a'^P' = my el b' = Q'=m";

donc

de sorte que la dernière équation se réduira à celle-ci,

qui n'est autre chose que l'équation prime de ^(a, è) = o, divisée par a'. D'un autre côté, dans la supposition de a et b variables, il est évident que la fonction prime de Y{3c,y,a, b) n'est pas simplement F(ar, j, a, b)', mais qu'il y faut ajouter les termes dus à la variation de a et b, qui sont a'¥'{a)-\-b'¥'{b), en désignant par F'(a) etF'(^) les fonctions primes de ¥{a;, y,a, b) prises relativement à a et à ^, regardés comme seules variables. Donc, prenant les fonctions primes de

l'équation

on aura

Mais on a déjà l'équation

ou aura donc nécessairement, dans la supposition de a et b variables,

l'équation ^

a'F'{a)-hb'F'[b) = o,

d'où l'on tire

c'est la valeur de ^ » qu'on peut trouver directement de cette manière,

et qu'on voit clairement ne pouvoir être une fonction du premier ordre, puisqu'elle ne contient que les quantités x, y et a, h.

Donc l'équation dont il s'agit sera, en dernière analyse, le résultat

b' de l'élimination de a, b et — entre les quatre équations

F(x,j, fl, &) = o, cp(r/, *)r=o,

dont les deux dernières sont les fonctions primes des deux premières, prises relativement à a et Z» et divisées par a'; l'équation

V[x,y,o,b] = o n'est plus nécessaire ici et se trouve remplacée par l'équation

qui en est une suite. Donc, si on réduit d'abord les deux premières en une seule par l'élimination de b, il ne s'agira plus (jue de prendre l'équation prime de celle-ci relativement à a seul et d'éliminer ensuite a par le moyen de ces deux; le résultat sera nécessairement le même qu'auparavant.

Si donc on tire de l'équation

donnée par les conditions du problème entre les éléments du contact a, b, la valeur de b en a, et qu'on suppose b — 'ii[a) (ij/ étant aussi la caractéristique d'une fonction), qu'on substitue cette valeur dans l'équation

de la courbe du contact, qu'ensuite on prenne la fonction prime de ¥[cc,Y,a,'li{a)] relativement à « seul, fonction que nous désignerons parrt'F'[a, '-^(«)], a' étant la fonction prime de a regardé comme fonction de jc, on aura ces deux équations,

F[x,y,(i,^[n)']=zo et f'[a,'\i[a)] = o,

d'où il faudra éliminera; et il est visible que le résultat ne sera autre chose que l'équation primitive singulière de l'équation du premiei* ordre, dont

sera l'équation primitive complète (n° 60, F*" Partie).

La courbe représentée par cette équation singulière sera proprement celle qui résout le problème, et qui aura la propriété d'être touchée dans chaque point par une des courbes représentées par l'équation

a étant constant pour la même courbe, mais variable d'une courbe à l'autre.

19. La manière dont nous sommes parvenus à cette dernière solution est la plus directe, analytiquement parlant; mais on y peut parvenir plus simplement par la considération suivante. Puisque le problème consiste à trouver la courbe qui aura, dans chaque point, un contact du premier ordre avec la courbe représentée par l'équation