IX

a étant un paramètre indéterminé, il s'ensuit (n° 10) que l'équation de la courlie cherchée doit donner pour j et pourj' des fonctions de x de la même forme que celles qui résultent des équations

en désignant par Y\^x, y, a, '^(a)]' la fonction prime de F[,r,y, a, 'h[a)\ l'elative à x et j. Or, a étant une quantité indéterminée, on peut la supposer telle que la courbe cherchée soit représentée par la même équation

pourvu que l'équation prime de celle-ci soit aussi de la même forme

Mais, si a est une quantité variable, la fonction prime complète de F[.r, j, a,'\[a)\ sera, comme nous l'avons vu ci-dessus,

Donc la condition dont il s'agit sera remplie si l'on détermine a par

l'équation

ce qui donnera la dernière solution que nous venons de trouver.

Toute équation entre x,y et un paramètre indéterminé a, que nous dénoterons, pour plus de simplicité, par

représente, en donnant successivement à a toutes les valeurs possibles, une fiimille d'une infinité de courbes qui varient de forme ou de position, ou de l'une et de l'autre à la fois, à raison des variations du paramètre, et, si l'on élimine ce paramètr(> par le moyen des fonctions primes, l'équation résultante du premier ordre appartiendra à toute cette famille de courbes; elle appartiendra donc aussi à la courbe formée par toutes ces courbes, et qui les enveloppera, ayant avec cha-

ouno d'elles un eontact du premier ordre. La même équation

ainsi que son équation prime

prise relativement a x ei y seuls, devront donc avoir lieu aussi pour chaque point de cette courbe enveloppante, en regardant le paramètres comme une quantité variable. Or, dans cette hypothèse, la fonction prime complète de /{ce, y, a) esi/{iv,Y,a)' + a'/'{a), en dénotant par/'(a) la fonction prime de f[x,y,a) prise relativement à a seul, et par a' la fonction prime de a, regardée comme une fonction quelconque de x\ donc il faudi'a que la valeur de a soit telle que l'on ait/'(a) = o, ce qui donnera l'équation primitive singulière de l'équation du premier ordre qui répond à l'équation

dans laquelle a est regardée comme une constante arbitraire (n" 60, I"^ Partie).

D'où l'on peut conclure, en général, que l'équation primitive singulière d'une équation du premier ordre représente toujours la courbe enveloppante de toutes les courbes qui peuvent être représentées par son équation primitive complète, en donnant à la constante arbitraire toutes les valeurs possibles.